Pentru calcularea determinanților matricilor pătrate de ordin mai mic sau egal cu 3 (n≤3), avem câteva reguli practice pentru efectuarea acestor calcule. Cu toate acestea, atunci când comanda este mai mare de 3 (n> 3), multe dintre aceste reguli nu sunt aplicabile.
Deci vom vedea teorema lui Laplace, care, folosind conceptul de cofactor, conduce calculul determinanților la reguli care se aplică oricăror matrice pătrate.
Teorema lui Laplace constă în alegerea unuia dintre rândurile (rândul sau coloana) matricei și adăugarea produselor elementelor acelui rând de cofactorii lor respectivi.
Ilustrație algebrică:
Să vedem un exemplu:
Calculați determinantul matricei C folosind teorema lui Laplace:
Conform teoremei lui Laplace, trebuie să alegem un rând (rând sau coloană) pentru a calcula determinantul. Să folosim prima coloană:
Trebuie să găsim valorile cofactorului:
Astfel, prin teorema lui Laplace, determinantul matricei C este dat de următoarea expresie:
Rețineți că nu a fost necesar să se calculeze cofactorul elementului matrice care era egal cu zero, la urma urmei, atunci când înmulțim cofactorul, rezultatul oricum ar fi zero. Prin urmare, atunci când întâlnim matrici care au multe zerouri într-unul din rândurile lor, utilizarea teoremei lui Laplace devine interesantă, deoarece nu va fi necesar să se calculeze mai multe cofactori.
Să vedem un exemplu al acestui fapt:
Calculați determinantul matricei B utilizând teorema lui Laplace:
Rețineți că a doua coloană este rândul care are cea mai mare cantitate de zerouri, așa că vom folosi acest rând pentru a calcula determinantul matricei prin teorema lui Laplace.
Prin urmare, pentru a determina determinantul matricei B, trebuie doar să găsiți cofactorul A22.
Prin urmare, putem completa calculele determinantului:
det B = (- 1). (- 65) = 65
De Gabriel Alessandro de Oliveira
Absolvent în matematică
Echipa școlii din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm
