Funcția inversă: ce este, grafic, exerciții

THE funcție inversă, așa cum sugerează și numele, este funcția f (x)^-1, care face exact inversul funcției f (x). Pentru ca o funcție să susțină un invers, trebuie să fie bijector, adică injector și surjector în același timp. Legea formării unei funcții inverse face opusul a ceea ce face funcția f (x).

De exemplu, dacă funcția ia o valoare de la domeniu și adaugă 2, funcția inversă, în loc să adune, scade 2. găsi legea formării funcției inverse nu este întotdeauna o sarcină ușoară, deoarece este necesar să se inverseze necunoscutele x și y, precum și să se izoleze y în noua ecuație.

Citește și:Funcție - tot ce trebuie să știți pentru a stăpâni subiectul

Când suportă o funcție inversă?

Reprezentarea grafică a unei funcții și a funcției sale inverse.

Un rol este inversabil, adică are o funcție inversă, dacă și numai dacă este bijector. Este important să ne amintim ce funcția bijector, care este o funcție injector, adică fiecare element al imaginii are un singur corespondent de domeniu. Aceasta înseamnă că diferite elemente din setul A trebuie să fie asociate cu diferite elemente din mulțimea B, adică nu pot exista două sau mai multe elemente ale mulțimii A care să aibă același corespondent în setul B.

Un rol este surjectiv dacă imaginea este egală cu controdomeniul, adică nu există niciun element din mulțimea B care să nu aibă asociat un element din mulțimea A.

Fie funcția f: A → B, unde A este domeniu și B este controdominiu, funcția inversă a lui f va fi funcția descrisă de f^-1 : B → A, adică domeniul și controdomeniul sunt inversate.

Exemplu:

Funcția f: A → B este bijectivă, deoarece este injectivă (la urma urmei, sunt asociate elemente distincte din A elemente distincte în B) și este, de asemenea, surjectiv, deoarece nu mai rămâne niciun element în mulțimea B, adică controdomeniul este egal cu a stabilit Imagine.

Prin urmare, această funcție este inversabilă, iar inversul său este:

Cum se determină legea formării funcției inverse?

Pentru a găsi legea formării funcției inverse, avem nevoie inversează necunoscutele, adică înlocuirea lui x cu y și y cu x și apoi izolarea y necunoscut. Pentru aceasta, este important ca funcția să fie inversabilă, adică bijector.

→ Exemplul 1

Aflați legea formării funcției inverse a lui f (x) = x + 5.

Rezoluţie:

Știm că f (x) = y, deci y = x + 5. Efectuând inversiunea lui x și y, vom găsi următoarele ecuaţie:

x = y + 5

Acum, să izolăm y:

- 5 + x = y
y = x - 5

În mod clar, dacă f (x) adaugă 5 la valoarea lui x, atunci inversul său f (x) ^{- 1} va face invers, adică x minus 5.

→ Exemplul 2

Având în vedere funcția a cărei lege de formare este f (x) = 2x - 3, care va fi legea de formare a inversului său?

→ Exemplul 3

Calculați legea formării inversului funcției y = 2^X.

Rezoluţie:

y = 2^X
Schimbarea x pentru y:
x = 2^y

punerea în aplicare logaritm de ambele părți:

Buturuga₂x = jurnal₂2^y
Buturuga₂x = ylog₂2
Buturuga₂x = y · 1
Buturuga₂x = y
y = jurnal₂X

Citește și: Diferențe între funcție și ecuație

Grafic cu funcție inversă

Graficul funcției inverse f ^-1 va fi întotdeauna simetric cu graficul funcției f în raport cu linia y = x, care permite analiza comportamentului acestor funcții, deși nu putem descrie legea formării funcției inverse în unele cazuri, datorită acesteia complexitate.

Citește și: Cum să graficezi o funcție?

exerciții rezolvate

1) Dacă f^-1 este funcția inversă a lui f, care merge de la R la R, a cărei lege de formare f (x) = 2x - 10, valoarea numerică a lui f ^-1(2) é:

la 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Rezoluţie:

→ Primul pas: găsiți inversul lui f.

→ Al 2-lea pas: înlocuiți 2 în locul lui x în f ^-1(X).

Alternativa C.

2) Fie f: A → B o funcție a cărei lege de formare este f (x) = x² + 1, unde A {-2, -1, 0, 1, 2} și B = {1,2,5}, este corect să spunem că:

a) funcția este inversabilă, deoarece este bijector.

b) funcția nu este inversabilă, deoarece nu este injectabilă.

c) funcția nu este inversabilă, deoarece nu este surjectivă

d) funcția nu este inversabilă, deoarece nu este nici surjectivă, nici injectabilă.

e) funcția nu este inversabilă, deoarece este bijector.

Rezoluţie:

Pentru ca funcția să fie inversabilă, trebuie să fie bijectivă, adică surjectivă și injectabilă. Mai întâi să analizăm dacă este surjectiv.

Pentru ca funcția să fie surjectivă, toate elementele lui B trebuie să aibă un omolog în A. Pentru a afla acest lucru, să calculăm fiecare dintre valorile sale numerice.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Rețineți că toate elementele lui B {1,2,5} au un corespondent în A, ceea ce face funcția surjectiv.

Pentru ca această funcție să fie injectivă, elementele distincte de A trebuie să aibă imagini distincte în B, ceea ce nu se întâmplă. Rețineți că f (-2) = f (2) și, de asemenea, că f (-1) = f (1), ceea ce face funcția nu fi injectat. Deoarece nu este un injector, nu este inversabil; prin urmare, alternativa b.

De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm