THE functie exponentiala apare atunci când, în legea sa de formare, variabila este în exponent, cu domeniu și contra-domeniu în numere reale. Domeniul funcției exponențiale este numerele reale, iar domeniul contor este numerele reale pozitive diferite de zero. Legea dvs. de formare poate fi descrisă de f (x) =X, pe ce este un număr real pozitiv, altul decât 1.
O grafic a unei funcții exponențiale va fi întotdeauna în primul și al doilea cadran al planului cartezian și poate crește când este un număr mai mare de 1 sau descrescător când este un număr pozitiv mai mic de 1. THE funcție inversă funcției exponențiale este funcția logaritmică, care face ca graficele acestor funcții să fie întotdeauna simetrice.
Citește și: Ce este funcția?
Ce este o funcție exponențială?
După cum sugerează și numele, termenul exponențial este legat de exponent. Deci definiția funcției exponențiale este a funcție a cărei domeniu este mulțimea numerelor reale, iar controdominiul este mulțimea numerelor reale pozitive diferite de zero.
, descris de : ℝ → ℝ *+. Legea formării sale este descrisă prin ecuația f (x) = X, pe ce este orice număr real, pozitiv, nu nul și dat numele de bază.Exemple:
În legea formării, f (x) poate fi descris și ca y și, ca și în celelalte funcții, este cunoscută sub numele de variabilă dependentă, deoarece valoarea ei depinde de x, care este cunoscută sub numele de variabilă. independent.
Tipuri de funcții exponențiale
Funcțiile exponențiale pot fi clasificate în două cazuri distincte. Ținând cont de comportamentul funcției, poate fi ascendent sau descendent.
O funcție exponențială se numește creștere dacă, pe măsură ce crește valoarea lui x, crește și valoarea lui f (x). Acest lucru se întâmplă atunci când baza este mai mare de 1, adică: > 1.
Exemplu:
O funcție exponențială este considerată descrescătoare dacă, pe măsură ce valoarea lui x crește, valoarea lui f (x) scade. Acest lucru se întâmplă atunci când baza este un număr între 0 și 1, adică 0 < < 1.
Exemplu:
Citește și: Diferențe între funcție și ecuație
Graficul funcțional exponențial
Pentru a desena reprezentarea grafică a unei funcții exponențiale, este necesar să găsiți imaginea pentru unele valori de domeniu. Graficul unei funcții exponențiale are caracteristica unei creșteri mult mai mari decât cea a funcții liniare, dacă crește, sau o scădere mai mare, atunci când scade.
Exemple:
a) Construiți graficul funcției: f (x) = 2X.
De la> 1, atunci această funcție crește. Pentru a construi graficul, să atribuim câteva valori lui x așa cum se arată în tabelul de mai jos:
Acum, că cunoaștem câteva puncte ale funcției, este posibil să le marcăm în Avion cartezian și trasați curba funcției exponențiale.
b) Construiți graficul următoarei funcții:
În acest caz, funcția este descendentă, deoarece baza este un număr între 0 și 1, atunci graficul va fi descendent.
După găsirea unor valori numerice, este posibil să se reprezinte graficul funcției în plan cartezian:
Proprietăți funcționale exponențiale
→ Prima proprietate
În orice funcție exponențială, indiferent de valoarea sa de bază The, Noi trebuie saf (0) = 1. La urma urmei, știm că acesta este un proprietate de potență, adică fiecare număr ridicat la 0 este 1. Aceasta înseamnă că graficul va intersecta axa verticală la punctul (0.1) de fiecare dată.
→ A 2-a proprietate
Funcția exponențială este injector. Date x1 și x2 astfel încât x1 ≠ x2, deci și imaginile vor fi diferite, adică f (x1) ≠ f (x2), ceea ce înseamnă că pentru fiecare valoare a imaginii, există o singură valoare în domeniu care corespunde acelei imagini.
A fi injectiv înseamnă că pentru alte valori decât y, va exista o singură valoare a lui x care face ca f (x) să fie egal cu y.
→ A treia proprietate
Este posibil să se cunoască comportamentul funcției în funcție de valoarea sa de bază. Graficul va crește dacă baza este mai mare de 1 ( > 1) și descrescător dacă baza este mai mică de 1 și mai mică de 0 (0 O graficul funcției exponențiale este întotdeauna în primul și al doilea cadran, deoarece controdominiul funcției sunt reali pozitivi diferiți de zero. Citește și: Cum să graficezi o funcție? Deoarece funcția exponențială este o funcție care admite invers, această comparație între funcția exponențială și funcția logaritmică este inevitabilă. se pare că funcția logaritmică este funcția inversă a exponențialei. Graficele acestor funcții sunt simetrice față de bisectoarea axei x. A fi o funcție inversă înseamnă că funcția logaritmică face opusul a ceea ce face funcția exponențială, adică în funcția exponențială, dacă f (x) = y, atunci funcția logaritmică, fiind inversă, va fi notată cu f-1 f-1 (y) = x. (Enem 2015) Sindicatul muncitorilor unei companii sugerează că nivelul salarial al clasei este de 1.800,00 dolari SUA, propunând o creștere procentuală fixă pentru fiecare an dedicat muncii. Expresia care corespunde propunerii (ofertelor) de salariu, în funcție de vechimea în serviciu (t), în ani, este s (t) = 1800 · (1,03)t. Potrivit propunerii sindicatului, salariul unui profesionist din această companie cu 2 ani de serviciu va fi, în reali, a) 7.416,00 b) 3.819,24 c) 3.709,62 d) 3.708,00 e) 1909,62 Rezoluţie: Vrem să calculăm imaginea funcției atunci când t = 2, adică s (2). Înlocuind t = 2 în formulă, vom constata că: s (2) = 1800 · (1,03) ² s (2) = 1800 · 1.0609 s (2) = 1909,62 Alternativa E 2) (Enem 2015) Adăugarea de tehnologii în sistemul de producție industrial are ca scop reducerea costurilor și creșterea productivității. În primul an de funcționare, o industrie a fabricat 8000 de unități dintr-un anumit produs. În anul următor, a investit în tehnologie, achiziționând mașini noi și a crescut producția cu 50%. Se estimează că această creștere procentuală se va repeta în următorii ani, garantând o creștere anuală de 50%. Fie P cantitatea anuală de produse fabricate în anul t operațiunii industriei. Dacă se atinge estimarea, care este expresia care determină numărul de unități produse Pîn funcție de t, pentru t ≥ 1? ) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 B)P(t) = 50 · t -1 + 8000 ç)P(t) = 4000 · t-1 + 8 000 d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1 și)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1 Rezoluţie: Rețineți că există o relație între an t și cantitatea unui anumit produs P. Știind că există o creștere de 50% pentru fiecare an, aceasta înseamnă că, atunci când se compară producția unui an înainte și după, valoarea celui de-al doilea corespunde cu 150%, care este reprezentat de 1,5. Știind că producția inițială este de 8000 și că, în primul an, acesta a fost producția, putem descrie această situație prin: În primul an, adică dacă t = 1 → s (t) = 8 000. În al doilea an, dacă t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5. În al treilea an, dacă t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5². După t ani, vom avea P(t) = 8 000 · (1,5)t-1. Alternativa E De Raul Rodrigues de Oliveira→ A 4-a proprietate
Funcția exponențială și funcția logaritmică
exerciții rezolvate
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm