THE combinație simplă este unul dintre grupările studiate în analiza combinatorie. Cunoaștem ca o combinație numărul de toate subseturile de k elemente pe care le putem forma dintr-un set de Nu elemente.
Este destul de obișnuit să vedem situații în care folosim combinația, de exemplu, pentru a calcula toate rezultatele posibil în jocuri de loterie sau jocuri de poker și în alte situații, cum ar fi studiul probabilității și statistic.
O altă grupare foarte comună este aranjamentul. Ceea ce diferențiază aranjamentul de combinație este faptul că, în aranjament, ordinea elementelor este importantă și, în combinație, ordinea nu este importantă. Prin urmare, comparăm combinația cu alegerea subseturilor.
Citește și: Principiul fundamental al numărării - utilizat pentru a cuantifica posibilitățile
Ce este combinația simplă?
În analiza combinatorie, este studiat numărul de clustere posibile. Printre aceste grupări, există ceea ce este cunoscut sub numele de combinație simplă. Combinația simplă nu este altceva decât
numărul tuturor subseturilor cu k elemente ale unui set dat, de exemplu: megassena, în care sunt trase 6 numere la întâmplare.În acest caz, puteți vedea că ordinea în care au fost alese aceste 6 numere nu are nicio diferență, adică ordinea nu contează, ceea ce face din acest rezultat un subset. Această caracteristică este fundamentală pentru a înțelege ce este o combinație și pentru a o diferenția de celelalte grupări - în combinație, ordinea elementelor setului nu contează.
formula combinată simplă
Problemele care implică combinația sunt calculate printr-o formulă. combinația de Nu elemente preluate din k în k é:
n → elemente totale din set
k → elemente totale din subset
Vezi și: Principiul numărării aditive - unirea elementelor a două sau mai multe seturi
Cum se calculează o combinație?
In primul loc, este important să știm când o problemă este o combinație. Pentru a ilustra, găsiți toate combinațiile posibile ale a stabilit {A, B, C, D} cu două elemente:
Combinațiile de listare cu două elemente sunt: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} și {C, D}. În acest caz, este posibil să vedem că există 6 combinații posibile și merită menționat, de asemenea, că subseturile {A, B} și {B, A} sunt egale, deoarece, în combinație, ordinea nu este importantă .
Se pare că nu este întotdeauna posibil să enumerați toate combinațiile posibile sau chiar nu este necesar, așa cum cel mai mare interes este în numărul de combinații și nu în listarea fiecăruia dintre ei. Pentru aceasta, este foarte practic să folosiți formula.
Exemplu:
O școală va extrage trei bilete, câte unul pentru fiecare elev, printre primii 10 la olimpiadele de matematică. După finalizarea testului și cunoașterea primelor 10 locuri, calculați combinațiile posibile pentru rezultatul extragerii.
Rețineți că, în rezultatul extragerii, ordinea nu este importantă, așa că lucrăm cu o problemă de combinație.
Vom calcula apoi combinația a 10 elemente luate din 3 din 3. Înlocuind în formulă, trebuie să:
Acum să realizăm simplificarea factorialelor. În acest moment, este esențial să stăpânești calculul factorial a unui număr. Ca 10! este mai mare decât oricare dintre factorialele din numitor și, uitându-se la numitor, 7! este cea mai mare dintre ele, haideți să facem înmulțirea lui 10 cu predecesorii săi până la atingerea 7!, astfel încât să fie posibil să simplificăm.
Triunghiul lui Pascal
Unul dintre instrumentele utilizate pe scară largă în analiza combinatorie, în principal pentru a calcula a Binomul lui Newton, este triunghiul lui Pascal. Acest triunghi este construită din rezultatele combinațiilor, un alt mod de a reprezenta combinația a două numere este după cum urmează:
Triunghiul lui Pascal începe de la rândul 0 și coloana 0, prin combinarea a 0 elemente luate de la 0 la 0. Liniile sunt la fel ca Nu, iar coloanele egale cu k, formând următoarea figură:
Înlocuind valorile care rezultă din combinații:
Prin rândurile și coloanele triunghiului lui Pascal, este posibil să găsim valoarea combinației pe care o dorim. Dacă este necesar, putem găsi termenii a câte rânduri sunt necesare. Pentru a afla mai multe despre această metodă de rezoluție, citiți textul: Triunghiul lui Pascal.
Diferența dintre aranjament și combinație
Aranjamentul și combinația sunt două grupări la fel de importante studiate în analiza combinatorie. Este esențial să cunoaștem diferența dintre fiecare dintre aceste grupuri, adică dacă le vom calcula cu a aranjament sau unu combinaţie.
Se pare că în combinaţie, la asamblarea clusterelor, ordinea elementelor setului nu este importantă., adică {A, B} = {B, A}, dar există cazuri în care ordinea este importantă în grupare, în acest caz lucrăm cu o matrice.
La aranjament, atunci, ordinea elementelor este diferită, adică {A, B} ≠ {B, A}, un exemplu de aranjament foarte comun ar fi să calculăm câte modalități diferite putem forma podiumul unei competiții date între 10 persoane. Rețineți că, în acest exemplu, ordinea este importantă, ceea ce o face rezolvabilă prin formula de aranjament. În plus față de definiția teoretică, formulele sunt diferite, iar formula de aranjament é:
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (Enem) Doisprezece echipe s-au înscris la un turneu de fotbal amator. Jocul de deschidere al turneului a fost ales astfel: mai întâi, au fost extrase 4 echipe care să alcătuiască Grupa A. Apoi, printre echipele din grupa A, au fost extrase 2 echipe pentru a juca jocul de deschidere al turneului, dintre care prima ar juca în propriul teren, iar a doua va fi echipa vizitatorilor. Numărul total de alegeri posibile pentru grupa A și numărul total de alegeri pentru echipele din jocul de deschidere poate fi calculat folosind
A) o combinație și, respectiv, un aranjament.
B) un aranjament și, respectiv, o combinație.
C) un aranjament și, respectiv, o permutare.
D) două combinații.
E) două aranjamente.
Rezoluţie
Alternativa A
Pentru a diferenția aranjamentul și combinația, este necesar să analizăm dacă ordinea contează sau nu în grupare. Rețineți că, în prima grupare, ordinea este irelevantă, deoarece Grupul A este format din cele 4 echipe desenate independent de ordine, adică există, mai întâi, o combinație.
Analizând a doua grupare, este posibil să vedem că ordinea contează în ea, deoarece prima echipă care va fi extrasă va avea comanda de teren, ceea ce face ca această grupare să fie un aranjament.
În acest fel, comanda este o combinație și un aranjament.
Intrebarea 2 - O familie compusă din 7 adulți, după ce a decis itinerariul călătoriei lor, a consultat site-ul unei companii aeriene și a constatat că zborul pentru data aleasă era aproape plin. În figură, disponibilă pe site, locurile ocupate sunt marcate cu un X și singurele locuri disponibile sunt în alb.
Numărul de modalități diferite de a găzdui familia pe acest zbor este calculat prin:
Rezoluţie
Alternativa B. În analiza situației, rețineți că ordinul, adică ce membru al familiei va sta pe scaun, nu este relevant. Ceea ce contează sunt cele 7 fotolii alese de familie. Deci, lucrăm cu o combinație. Există 9 locuri libere, iar 7 vor fi alese. deci să calculăm combinația de la 9 la 7. Înlocuind în formulă, trebuie să:
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm
