Tu numere naturale au fost primul set numeric de luat în considerare, istoric. Au ieșit din trebuie să număr a ființei umane. Mulțimea numerelor naturale are ca elemente numere și numere întregi pozitive, ca 1, 2, 3, 4,…. Acest set are operațiile de adăugare, scădere, multiplicare, divizare, potențare și radiatie.
Ce sunt numerele naturale?
numerele naturale sunt numere strict pozitiv care nu au virgulă, adică reprezintă cantități întreg. Setul de numere naturale poate fi reprezentat după cum urmează:
Mulțimea numerelor naturale este a set infinit, adică, având în vedere orice număr natural, există cel puțin un număr mai mare decât acesta. Vedeți câteva exemple de elemente care aparțin și nu aparțin acestui set.
Din exemplul de mai sus, avem faptul că numărul 10, 2 și 100 aparțin mulțimii naturale, iar numerele 1.65, –2 și 0 nu aparțin mulțimii naturale.
Citește și tu: Fapte amuzante despre împărțirea numerelor naturale
Succesor al unui număr natural
Așa cum am spus mai sus, mulțimea numerelor naturale este o mulțime infinită, adică având în vedere orice număr Nu natural, există întotdeauna n + 1, de asemenea natural. Numarul n + 1 este numit succesorul lui n. Pentru a determina succesorul oricărui număr natural, doar adăuga 1 la acel număr. De exemplu, să determinăm succesorii numerelor 3, 1, 5 și 2p + 1.
Succesorul numărului 3 este dat de 3 + 1, adică numărul 4. În mod similar, succesorii lui 1 și 5 sunt, respectiv, 2 și 6. Urmând definiția succesorului, să presupunem că succesorul lui 2p + 1 este 2p + 1 + 1, adică 2p + 2.
Odată cu definiția succesorului, ideea că setul numerelor naturale este infinit devine mai clară, deoarece este întotdeauna posibil să se găsească orice succesor al unui număr natural.
Strămoșul unui număr natural
Predecesorul unui număr natural Nu este cel care precede acest număr Nu. Putem scrie predecesorul lui Nu ca n - 1. De exemplu, să determinăm predecesorii numerelor 2, 5, 1000 și 2p + 1.
Predecesorul lui 2 este dat de 2 - 1, deci este numărul 1. În mod similar, predecesorii lui 5 și 1000 sunt, respectiv, numerele 4 și 999. Predecesorul numărului 2p + 1 este 2p + 1 - 1, adică predecesorul lui 2p +1 este numărul 2p.
Este important să spunem asta nu orice număr natural are un predecesor, este cazul numărului 1. Aplicând definiția strămoșului, avem că predecesorul numărului 1 este 1 - 1 = 0, dar numarul zero nu aparține numerelor naturale. Prin urmare, fiecare număr natural are un predecesor, cu excepția numărului 1. Din acest motiv, numărul 1 este numit elementul minim al naturilor, adică este cel mai mic număr natural. Putem scrie aceste informații astfel:
Subset de numere naturale
Știm că mulțimea numerelor naturale este alcătuită din numere strict pozitive, adică numere mai mari decât zero. Din teoria lui seturi, avem asta, având în vedere mulțimile A și B, spunem asta B este un subset al lui A dacă fiecare element al lui B este un element al lui A, adică B este conținut în A (B ⸦ A).
Astfel, orice mulțime formată din numere naturale va fi un subset al numerelor naturale. Vezi câteva exemple:
Luați în considerare seturile:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Mulțimile A, B și C sunt subseturi ale numerelor naturale, întrucât toate elementele acestor mulțimi sunt, de asemenea, elemente ale celor naturale, adică putem spune că:
Uită-te acum la setul D. Rețineți că, în acest set, nu fiecare element aparține setului de numere naturale. Acesta este cazul numărului 0. Prin urmare, D nu este subset a numerelor naturale, adică D nu este cuprins în mulțimea numerelor naturale. Notăm acest fapt după cum urmează:
Citește și: Numere prime: ce sunt acestea și cum să le găsim?
numere pare naturale
Spunem că un număr este chiar dacă este un multiplu al numărului 2, ceea ce echivalează cu a spune că acest număr este divizibil cu 2. Uite:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Deoarece mulțimea numerelor naturale este o mulțime infinită, la fel este și mulțimea numerelor pare. De asemenea, rețineți că fiecare element al setului de numere pare este, de asemenea, un element al numerelor naturale și, prin urmare, setul de numerele pare este un subset al naturilor..
Vezi asta:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Mulțimea numerelor pare poate fi obținută prin înmulțirea tuturor numerelor naturale cu numărul 2. Deci, având în vedere un număr natural Nu, putem scrie un număr par folosind expresia 2n, deci setul de numere pare poate fi scris în general prin:
De exemplu, să aflăm dacă numerele 1000, 2098 și 55 sunt pare.
Din moment ce 1000 = 2 · 500 și 2098 = 2 · 1049, acestea sunt egale pentru că există un număr natural care, înmulțit cu 2, le dă. Acum, 55 nu este chiar, deoarece nu există un număr natural care, înmulțit cu 2, să ducă la 55. Uite:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
După cum știm bine, nu există un număr natural între 27 și 28, deci 55 nu este chiar.
Numere naturale impare
Un număr este impar dacă nu este par, adică atunci când nu este nici multiplu, nici divizibil cu 2. Astfel, setul de numerele naturale impare sunt numere naturale care nu sunt multipli de 2. Acest set poate fi scris după cum urmează:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
În mod similar cu ceea ce am făcut în setul de numere pare, avem:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Setul de numere impare poate fi obținut prin multiplicare toate numerele naturale cu 2 și adăugând 1. având în vedere un număr natural Nu oricare, putem scrie orice număr impar folosind expresia 2n + 1. În general vorbind, reprezentăm setul de numere impare prin:
Rețineți că setul de numere impare este, de asemenea, un set infinit, deoarece pentru a obține numerele impare înmulțim numerele naturale cu 2 și apoi adăugăm 1. Din acest motiv, setul de numere impare este, de asemenea, un subgrup al naturilor., deoarece fiecare element al acestui set este, de asemenea, un element al celor naturale.
Vezi și: Proprietăți cu număr par și impar
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Enumerați doar numerele naturale ale numerelor enumerate mai jos:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 și 98,765
Soluţie
Știm că setul numerelor naturale este alcătuit din numere strict pozitive care nu au virgulă, deci numerele naturale din listă sunt: 1, 2 și 98.765.
intrebarea 2 - Având în vedere forma generală a unui număr par, este adevărat că, adăugând două numere pare, rezultatul este încă par? Același lucru este valabil și pentru numerele impare?
Soluţie
Știm că un număr par poate fi scris în general prin înmulțirea oricărui număr natural cu 2. Luați în considerare două numere naturale distincte, 2n și 2m, unde m și Nu orice număr natural, suma celor două este determinată de:
2n + 2m
Punând numărul 2 în evidență, avem:
2 · (n + m)
Ca Nu și m sunt două numere naturale, suma lor este, de asemenea, deci n + m = k, unde k un număr natural.
2 · (n + m)
2 · k
Prin urmare, suma a două numere naturale pare este, de asemenea, un număr par, deoarece suma a dus la un multiplu de 2.
Acum știm că un număr impar este dat prin înmulțirea unui număr natural cu 2 adăugat la numărul 1. Acum ia în considerare două numere impare distincte, 2n +1 și 2m + 1, cu m și Nu natural. Adunând aceste numere împreună, avem:
2n + 1 + 2m +1
2n + 2m +2
Punând din nou numărul 2 în evidență, avem:
2 (n + m + 1)
Rețineți că n + m + 1 este un număr natural și îl putem reprezenta cu p, adică n + m + 1 = p, curând:
2 ·(n + m + 1)
2 · P
Rețineți că rezultatul adăugării a două numere impare a dus la un multiplu de 2, adică par. Prin urmare, suma a două numere impare este un număr par.
Întrebarea 3 - (Ofertă / Pref. din Itaboraí) Cocientul dintre două numere naturale este 10. Înmulțind dividendul cu 5 și reducând divizorul la jumătate, coeficientul noii divizii va fi:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Soluţie
Potrivit afirmației, coeficientul (divizarea) dintre două numere naturale este 10. Deoarece încă nu știm care sunt aceste numere, să le numim după m și Nu, atunci:
Acum, înmulțind dividendul cu 5 și reducând divizorul la jumătate, avem:
Efectuarea divizarea fracției și înlocuirea valorii m, noi vom avea:
Răspuns: Alternativă e.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm