Permutările fac parte din problemele de numărare. Folosim permutările pentru a cunoaște numărul de ordine ale elementelor dintr-o mulțime. Exersează-ți cunoștințele despre permutare și rezolvă-ți îndoielile cu exercițiile rezolvate.
Exercitiul 1
Doi prieteni se jucau cu zaruri cu șase fețe. Se știe că numerele 4, 1, 2 și 5 au ieșit, nu neapărat în această ordine. Câte secvențe de rezultate ar fi putut exista?
Raspuns: 24
O anumită ordine a rezultatelor ar putea fi:
1, 2, 4 și 5 sau
5, 4, 5 și 1 sau
4, 5, 1 și 2
Pentru a determina numărul total de comenzi posibile, calculăm o permutare cu patru elemente distincte.
Exercițiul 2
Un grup de șase prieteni s-au dus să se uite la un film la cinema și și-au cumpărat bilete pentru același rând de locuri. Având în vedere că există un cuplu și s-au așezat pe scaune vecine, în câte moduri ar putea încăpea acești prieteni în rândul de scaune?
Raspuns: 240
Deoarece toate elementele setului „prieteni” sunt luate în considerare în calcul, este o problemă de permutare.
Pentru a calcula numărul total posibil de permutări, am luat în considerare 5 elemente, deoarece cuplul trebuie să fie mereu împreună.
Mai mult, dintre aceste 120 de posibilități, trebuie să ne înmulțim cu două, deoarece cuplul poate face schimb de locuri unul cu celălalt.
Astfel, numărul de moduri posibile prin care prietenii se organizează în rândul de scaune este:
120. 2 = 240
Exercițiul 3
O clasă de 7 elevi se joacă în curte profitând de timpul de pauză. La auzirea semnalului care anunță întoarcerea în sălile de clasă, elevii se deplasează pentru a forma o linie. În câte moduri diferite pot elevii să formeze secvența de coadă?
Răspuns: 5040
Numărul total de moduri posibile de organizare a cozii este o permutare a 7 elemente distincte.
Exercițiul 4
Un fotograf își reglează camera pentru a fotografia 5 copii așezați pe o bancă. În acest grup sunt 3 fete și 2 băieți. O posibilă aranjare a copiilor pentru fotografie ar fi:
Având în vedere pozițiile în care copiii pot sta pe bancă, în câte moduri poate fotograful să organizeze băieții și fetele, obținând diferite fotografii?
Raspuns: 10
Acesta este un caz de permutare cu elemente repetate. Trebuie să împărțim numărul total de permutări la produsul dintre permutările elementelor care se repetă.
Exercițiul 5
Câte anagrame se pot face cu literele din cuvântul PREFEITURA?
Raspuns: 907 200
Cuvântul PRIMĂRIE are 10 litere, dintre care unele sunt repetate. Litera E apare de două ori, la fel ca și R.
Calculăm împărțirea dintre permutarea a 10 elemente și împărțim la produsul permutărilor elementelor repetate.
Exercițiul 6
(UEMG 2019) Din setul tuturor permutărilor literelor din cuvântul PONTA, una este eliminată la întâmplare. Care este probabilitatea de a elimina un cuvânt care începe și se termină cu o vocală?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Pasul 1: numărul tuturor permutărilor cu literele cuvântului PONTA.
Deoarece există cinci litere distincte, avem:
Pasul 2: număr de permutări care încep și se termină cu o vocală.
Pentru prima literă există două opțiuni de vocală, pentru ultima literă va fi doar 1.
Pentru consoane sunt 3! posibilităților.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Pasul 3: determinați raportul de probabilitate.
Exercițiul 7
(EspCex 2012) Probabilitatea de a obține un număr divizibil cu 2 la alegerea aleatorie a uneia dintre permutațiile cifrelor 1, 2, 3, 4, 5 este
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Pasul 1: permutări totale.
Deoarece există cinci elemente distincte, avem că numărul de permutări a 5 elemente este egal cu 5 factoriali.
Pasul 2: permutări de numere divizibile cu două cu cele cinci cifre.
Pentru a fi divizibil cu 2, condiția este ca să fie par. Astfel, există două opțiuni pentru ultima cifră, 2 și 4.
Pentru celelalte posturi sunt 4! posibilităților.
Pasul 3: calculul probabilității.
Exercițiul 8
(EsFCEx 2022) Fie P mulțimea de permutări ale șirului 1, 3, 6, 9, 12 pentru care primul termen este diferit de 1. Dacă una dintre aceste secvențe este desenată aleatoriu, probabilitatea ca al doilea termen să fie 3 este egală cu p/q, cu p, q ∈ IN* și mcd (p, q) = 1. Prin urmare, q – p este egal cu
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Pasul 1: determinați numărul total de cazuri posibile în spațiul eșantion.
De la dreapta la stânga, primul număr nu poate fi unul, așa că există 4 posibilități de a ocupa prima poziție.
Sunt 4 pentru a ocupa celelalte posturi! posibilităților.
Permutările sunt:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Pasul 2: determină posibilitățile de producere a evenimentului, al doilea fiind trei, primul fiind diferit de unul.
Permutările sunt:
3.1.3.2.1 = 18
Pasul 3: raportul de probabilitate.
Raportul de probabilitate este:
Cu p = 18 și q = 96.
Cu toate acestea, există încă condiția ca cel mai mare divizor comun dintre p și q să fie 1, ceea ce nu apare cu 18 și 96.
Trebuie să simplificăm și să testăm fracții echivalente cu 18/96.
Pasul 4: simplificarea fracției de probabilitate și determinarea lui p și q.
Ca mcd (3, 16) = 1, p = 3 și q = 16.
Pasul 5: concluzie.
q - p = 16 - 3 = 13
Află mai multe despre permutare.
Pentru mai multe exerciții, vezi:
Exerciții de analiză combinatorie
ASTH, Rafael. Exerciții de permutare rezolvate și explicate.Tot Materia, [n.d.]. Disponibil in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Acces la:
Vezi și tu
- Analiza combinatorie
- Exerciții de analiză combinatorie
- Permutație: simplă și cu repetare
- Aranjament în matematică: ce este, cum se calculează, exemple
- 27 Exerciții de bază de matematică
- Combinație în matematică: cum se calculează și exemple
- Exerciții de probabilitate
- Probabilitate