Exerciții pentru sinus, cosinus și tangentă

Studiați cu exercițiile rezolvate de sinus, cosinus și tangentă. Exersați și clarificați-vă îndoielile cu exercițiile comentate.

intrebarea 1

Determinați valorile lui x și y în următorul triunghi. Considerăm sin 37º = 0,60, cosinusul 37º = 0,79 și tan 37º = 0,75.

vezi raspunsul

Răspuns: y = 10,2 m și x = 13,43 m

Pentru a determina y, folosim sinusul lui 37º, care este raportul dintre latura opusă și ipotenuză. Merită să ne amintim că ipotenuza este segmentul opus unghiului de 90º, deci valorează 17 m.

s și n spațiu 37º este egal cu y peste 17 17 spațiu. s spațiu și n spațiu 37º este egal cu y 17 spațiu. spațiu 0 virgulă 60 spațiu este egal și spațiu 10 virgulă 2 m spațiu este egal și spațiu

Pentru a determina x, putem folosi cosinusul de 37º, care este raportul dintre latura adiacentă unghiului de 37º și ipotenuză.

cos spațiu 37º este egal cu x peste 17 17 spațiu. spațiu cos spațiu 37º este egal cu x 17 spațiu. spațiu 0 virgulă 79 spațiu este egal spațiu x 13 virgulă 4 m spațiu aproximativ egal spațiu x

intrebarea 2

În următorul triunghi dreptunghic, determinați valoarea unghiului piţigoi drept , în grade și sinusul, cosinusul și tangenta acestuia.

Considera:

sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

vezi raspunsul

Răspuns: theta este egal cu semnul de 62 de grade , cos spațiu semn de 62 de grade aproximativ egal 0 virgulă 47 virgule și n spațiu semn de 62 de grade aproximativ egal 0 virgulă 88 spațiu și spațiu un spațiu tan spațiu 62 grade semn spațiu aproximativ egal spațiu 1 punct 872.

Într-un triunghi, suma unghiurilor interioare este egală cu 180°. Fiind un triunghi dreptunghic există un unghi de 90º, deci mai rămân încă 90º pentru cele două unghiuri.

În acest fel avem:

instagram story viewer

Al 28-lea spațiu plus spațiu spațiu teta este egal spațiu 90 º spațiu teta este egal spațiu 90 º spațiu minus spațiu 28 º spațiu teta este egal spațiu 62 º

Deoarece aceste unghiuri sunt complementare (de la unul dintre ele, celălalt este cât mai rămâne până la 90º), este valabil că:

cos 62º = sin 28º = 0,47

și

sin 62º = cos 28º = 0,88

Calcul tangentei

Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus.

$tan spațiu 62º spațiu este egal cu spațiul numărătorul s și n spațiu 62º peste numitor cos spațiu 62º capătul fracția este egală cu numărătorul 0 virgulă 88 peste numitorul 0 virgulă 47 sfârșitul fracției aproximativ egal cu 1 virgula 872$

intrebarea 3

La o anumită oră a unei zile însorite, umbra unei case este proiectată pe 23 de metri. Acest rest face 45º în raport cu solul. În acest fel, determinați înălțimea casei.

vezi raspunsul

Raspuns: Inaltimea casei este de 23 m.

Pentru a determina o înălțime, cunoscând unghiul de înclinare, folosim tangenta unghiului de 45°.

Tangenta de 45° este egală cu 1.

Casa și umbra de pe pământ sunt picioarele unui triunghi dreptunghic.

$tan spațiu 45 º este egal cu numărătorul c a t e t o spațiu o pos t o peste numitor c a t e t o spațiu a d j a c e n t e sfârșitul fracției este egal cu numărătorul a l t u r a spațiu d a spațiu c a s a peste numitor m e d i d a spațiu d a spațiu s om br r sfârșitul fracției tan spațiu 45 º este egal cu a peste 23 1 este egal cu a peste 23 un spațiu este egal cu spațiu 23 spațiu m$

Astfel, inaltimea casei este de 23 m.

intrebarea 4

Un topograf este un profesionist care folosește cunoștințele matematice și geometrice pentru a efectua măsurători și a studia o suprafață. Folosind un teodolit, un instrument care, printre alte funcții, măsoară unghiuri, poziționat la 37 de metri departe de o clădire, a găsit un unghi de 60° între un plan paralel cu solul și înălțimea clădire. Dacă teodolitul a fost pe un trepied la 180 cm de sol, determinați înălțimea clădirii în metri.

considera rădăcina pătrată a lui 3 este egală cu 1 punct 73

vezi raspunsul

Raspuns: Inaltimea cladirii este de 65,81 m.

Făcând o schiță a situației avem:

Astfel, înălțimea clădirii poate fi determinată folosind tangenta de 60º, de la înălțimea la care se află teodolitul, adăugând rezultatul cu 180 cm sau, 1,8 m, întrucât este înălțimea la care se află față de sol.

Tangenta de 60° este egală cu rădăcină pătrată a lui 3 .

Înălțimea de la teodolit

$tan spațiu 60 º spațiu este egal cu spațiu numărător înălțime spațiu d spațiul p r este d i o peste numitorul 37 sfârșitul rădăcinii pătrate a fracției din 3 spațiu este egal cu spațiul numărătorului a l t u r a spațiu d spațiul p r este d i o peste numitorul 37 sfârșitul fracției 1 virgulă 73 spațiu. spațiu 37 spațiu egal cu l t u r a spațiu d o spațiu p r is d i o 64 virgulă 01 spațiu egal cu spațiu a l t u r a spațiu d o spațiu p r e d i o$

Inaltimea totala

64,01 + 1,8 = 65,81 m

Înălțimea clădirii este de 65,81 m.

intrebarea 5

Determinați perimetrul pentagonului.

Considera:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
tan 67° = 2,35

vezi raspunsul

Răspuns: Perimetrul este de 219,1 m.

Perimetrul este suma laturilor pentagonului. Deoarece există o porțiune dreptunghiulară care măsoară 80 m, și latura opusă are o lungime de 80 m.

Perimetrul este dat de:

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Fiind Cel, paralel cu linia punctată albastră, putem determina lungimea acesteia folosind tangentei de 67°.

spatiu bronz semnul de 67 de grade este egal cu peste 10 2 virgulă 35 spațiu este egal cu spațiu peste 10 2 virgulă 35 spațiu. spațiu 10 spațiu este egal spațiu a 23 virgulă 5 spațiu este egal spațiu a

Pentru a determina valoarea lui b, folosim cosinusul de 67°

$cos spațiu 67 grade semn spațiu este egal cu spațiul 10 peste b b este egal cu numărătorul 10 peste numitor cos spațiu 67 semn de gradul sfârșitul fracției b este egal cu numărătorul 10 peste numitorul 0 virgulă 39 sfârșitul fracției b spațiu aproximativ egal 25 virgula 6$

Deci perimetrul este:

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

intrebarea 6

Aflați sinusul și cosinusul lui 1110°.

vezi raspunsul

Având în vedere cercul trigonometric avem că o întoarcere completă are 360°.

Când împărțim 1110° la 360° obținem 3,0833.... Aceasta înseamnă 3 ture complete și puțin mai mult.

Luând 360° x 3 = 1080° și scăzând din 1110 avem:

1110° - 1080° = 30°

Considerând sensul invers acelor de ceasornic drept pozitiv, după trei ture complete revenim la început, 1080° sau 0°. Din acest punct avansăm încă 30°.

Deci sinusul și cosinusul de 1110° sunt egale cu sinusul și cosinusul de 30°

$s și n spațiu 1110 grade semn spațiu este egal spațiu s și n spațiu 30 grade semn spațiu este egal cu spațiu 1 jumătate cos spațiu 1110 semn de grade spațiu este egal cu spațiu cos spațiu 30 grade semn spațiu este egal cu spațiu numărător rădăcină pătrată a lui 2 peste numitorul 2 sfârșitul lui fracțiune$

intrebarea 7

(CEDERJ 2021) Studiind pentru un test de trigonometrie, Júlia a învățat că sin² 72° este egal cu

1 - cos² 72°.

cos² 72° - 1.

tg² 72° - 1.

1 - tg² 72º.

feedback explicat

Relația fundamentală a trigonometriei spune că:

s și n pătrat x spațiu plus spațiu cos pătrat x este egal cu 1

Unde x este valoarea unghiului.

Luând x = 72º și izolând sinusul, avem:

s și n spațiu pătrat 72º este egal cu 1 minus cos pătrat spațiu 72º

intrebarea 8

Rampele sunt o modalitate bună de a asigura accesibilitatea utilizatorilor de scaune rulante și persoanelor cu mobilitate redusă. Accesibilitatea la clădiri, mobilier, spații și echipamente urbane este garantată prin lege.

Asociația braziliană de norme tehnice (ABNT), în conformitate cu Legea braziliană pentru includerea persoanelor cu Handicap (13.146/2015), reglementează construcția și definește panta rampelor, precum și calculele pentru acestea. constructie. Ghidurile de calcul ABNT indică o limită maximă a pantei de 8,33% (raport 1:12). Aceasta înseamnă că o rampă, pentru a depăși o diferență de 1 m, trebuie să aibă cel puțin 12 m lungime și aceasta defineste ca unghiul de panta al rampei, in raport cu planul orizontal, nu poate fi mai mare de 7°.

Conform informațiilor anterioare, astfel încât o rampă, cu o lungime egală cu 14 m și o înclinare de 7º în in raport cu planul, se incadreaza in normele ABNT, trebuie sa serveasca la depasirea unui gol cu o inaltime maxima de

Utilizare: sin 7 = 0,12; cos 7º = 0,99 și tan 7º = 0,12.

a) 1,2 m.

b) 1,32 m.

c) 1,4 m.

d) 1,56 m.

e) 1,68 m.

feedback explicat

Rampa formează un triunghi dreptunghic unde lungimea este de 14 m, formând un unghi de 7º în raport cu orizontală, unde înălțimea este latura opusă unghiului.

Folosind sinusul de 7°:

s și n spațiu semnul de 7 grade egal cu un spațiu peste 1414. s spațiu și n spațiu 7 grade semn spațiu este egal cu spațiu a14 spațiu. spațiu 0 virgulă 12 spațiu este egal cu spațiu a1 virgulă 68 spațiu este egal cu spațiu a

s și n al șaptelea spațiu este egal cu un spațiu de peste 140 de puncte 12. spațiu 14 spațiu este egal cu spațiu a1 virgulă 68 spațiu este egal cu spațiu a

Înălțimea pe care trebuie să o atingă rampa este de 1,68 m.

intrebarea 9

(Unesp 2012) Se construiește o clădire de spital pe un teren în pantă. Pentru optimizarea construcției, arhitectul responsabil a proiectat parcarea de la subsolul clădirii, cu intrare din strada din spate a terenului. Recepția spitalului se află la 5 metri deasupra nivelului parcării, necesitând construirea unei rampe de acces drept pentru pacienții cu dificultăți de mobilitate. Figura reprezintă schematic această rampă (r), care leagă punctul A, de la etajul recepției, cu punctul B, de la etajul parcării, care trebuie să aibă o înclinare α minimă de 30º și maximum 45º.

În aceste condiţii şi având în vedere rădăcina pătrată a lui 2 este egală cu 1 punct 4 , care ar trebui să fie valorile maxime și minime, în metri, ale lungimii acestei rampe de acces?

vezi raspunsul

Raspuns: Lungimea rampei de acces va fi de minim 7 m si maxim 10 m.

Proiectul prevede deja și stabilește înălțimea la 5 m. Trebuie să calculăm lungimea rampei, care este ipotenuza triunghiului dreptunghic, pentru unghiurile de 30° și 45°.

Pentru calcul am folosit sinusul unghiului, fiind raportul dintre latura opusă, 5m, și ipotenuza r, care este lungimea rampei.

Pentru unghiurile notabile de 30° și 45° valorile sinusului sunt:

$s și n spațiu 30 grade semn spațiu este egal cu spațiu 1 jumătate s și n spațiu 45 grade semn spațiu este egal cu spațiu numărător rădăcină pătrată a lui 2 peste numitorul 2 sfârșitul fracției$

pentru 30°

$s și n spațiu semnul de 30 de grade egal cu 5 peste r r spațiu egal cu numărătorul 5 peste numitorul s și n semnul de gradul 30 la sfârșitul lui fracția r spațiu este egal cu numărătorul 5 peste numitor începutul stilului arată 1 sfârșitul mijlociu al stilului sfârșitul fracției r este egal cu 5 spaţiu. spațiu 2 r spațiu egal cu 10$

la 45°

$s și n spațiu semnul de 45 de grade este egal cu 5 peste r r este egal cu numărătorul 5 peste numitor s și n spațiu semnul de 45 de grade sfârșitul fracției r este egal cu numărătorul 5 peste numitor începe stilul arată numărătorul rădăcina pătrată a lui 2 peste numitorul 2 sfârşitul fracţiei sfârşitul stilului sfârşitul fracţiei r este egal cu numărătorul 5 spaţiu. spațiu 2 peste numitorul rădăcinii pătrate a lui 2 capătul fracției r spațiu egal cu numărătorul 10 peste numitorul rădăcinii pătrate a lui 2 capătul fracției$

raţionalizant

$r este egal cu numărătorul 10 peste numitorul rădăcinii pătrate a 2 sfârșitului fracției. numărătorul rădăcină pătrată a lui 2 peste numitor rădăcina pătrată a lui 2 capătul fracției este egal cu numărătorul 10 rădăcina pătrată a lui 2 peste numitorul 2 capătul fracției$

Înlocuind valoarea lui

$r este egal cu numărătorul 10 spațiu. spațiu 1 virgulă 4 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu 7$

intrebarea 10

(EPCAR 2020) Noaptea, un elicopter al Forțelor Aeriene braziliene zboară peste o regiune plată și observă un UAV (vehicul aerian fără pilot) de formă circulară și înălțime neglijabilă, cu o rază de 3 m parcat paralel cu solul la 30 m de înălţime.

UAV se află la o distanță de y metri de un reflector care a fost instalat pe elicopter.

Fasciculul de lumină de la reflectorul care trece pe lângă UAV cade pe regiunea plată și produce o umbră circulară cu centrul O și raza R.

Raza R a circumferinței umbrei formează un unghi de 60º cu fasciculul de lumină, așa cum se vede în figura următoare.

În acel moment, o persoană care se află în punctul A pe circumferința umbrei aleargă către punctul O, piciorul de la perpendiculara trasă de la reflector spre regiunea plană.

Distanța, în metri, pe care o parcurge această persoană de la A la O este un număr între

a) 18 și 19

b) 19 și 20

c) 20 și 21

d) 22 și 23

feedback explicat

obiectiv

Determinați lungimea segmentului AO în cadrul de sus , raza cercului umbrei.

Date

Înălțimea de la O la UAV este de 30 m.
Raza UAV este de 3 m.

Folosind tangenta de 60° determinăm partea evidențiată cu roșu în imaginea următoare:

Imagine asociată cu rezolvarea problemei.

Avand in vedere tangenta de 60° = rădăcină pătrată a lui 3 iar tangenta fiind raportul dintre latura opusă unghiului și latura ei adiacentă, avem:

$spatiu bronz semnul de 60 de grade este egal cu 30 peste xx este egal cu numaratorul 30 peste numitor radacina patrata a 3 sfarsitul fractiei$

raţionalizant

$x spațiu este egal cu numărătorul spațiului 30 peste numitorul rădăcinii pătrate a 3 sfârșitului fracției. numărătorul rădăcină pătrată a lui 3 peste numitor rădăcina pătrată a lui 3 capătul fracției este egal cu numărătorul 30 rădăcina pătrată a lui 3 peste numitorul 3 capătul fracției este egal cu 10 rădăcinii pătrate a lui 3$