Ecuația exponențială: ce sunt și cum se rezolvă (cu exemple)

O ecuație este exponențială atunci când necunoscuta (valoarea necunoscută) este în exponentul unei puteri. Astfel, o propoziție matematică care implică egalitate între doi termeni, unde necunoscutul apare în cel puțin un exponent, se numește ecuație exponențială.

O putere este rezultatul produsului bazei sale de la sine, de atâtea ori cât este determinat de exponent.

Într-o ecuație exponențială determinăm câți factori se înmulțesc, adică de câte ori se înmulțește baza, pentru a obține un anumit rezultat.

Definiția ecuației exponențiale:

începe stilul matematică dimensiune 18px drept b la puterea dreptei x este egal cu stilul direct până la sfârșit

Unde:

b este baza;
x este exponentul (necunoscut);
a este puterea.

Pe ce dreapta b nu este egală cu 1 spațiu drept și dreapta b mai mare decât 0 Este drept a nu este egal cu 0 .

Exemplu de ecuație exponențială:

Variabila necunoscută este în exponent. Trebuie să stabilim de câte ori se va înmulți 2 pentru a rezulta 8. Ca 2. 2. 2 = 8, x = 3, deoarece 2 trebuie înmulțit de trei ori pentru a obține 8 ca rezultat.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Ecuațiile exponențiale pot fi scrise în diverse moduri și pentru a le rezolva, vom folosi puteri egale cu baze egale, care trebuie să aibă și ele aceiași exponenți.

instagram story viewer

Deoarece funcția exponențială este injectivă, avem:

drept b la puterea dreptului x cu 1 capăt de indice al exponențialului egal cu dreapta b la puterea dreptului x cu 2 capăt de indice spațiu exponențial săgeată dublă stânga și dreapta spațiu drept x cu 1 indice este egal drept x cu 2 abonat

Aceasta înseamnă că două puteri cu aceeași bază vor fi egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt de asemenea egali.

Astfel, o strategie pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale este egalează bazele puterilor. Odată ce bazele sunt aceleași, le putem elimina și compara exponenții.

Pentru a egaliza bazele puterilor într-o ecuație exponențială, folosim instrumente matematice precum factorizarea și proprietăți de potențare.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor exponențiale

Exemplul 1
2 la puterea dreptei x egală cu 64

Este o ecuație exponențială, deoarece propoziția implică o egalitate (ecuație) și variabila necunoscută x este în exponent (exponențial).

Pentru a determina valoarea necunoscutului x, echivalăm bazele puterilor, folosind factorizarea lui 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 sau 2 la puterea lui 6

Inlocuind in ecuatie:

2 la puterea lui x este egal cu 2 la puterea lui 6

Ne luăm în considerare bazele, lăsând doar egalitate între exponenți.

x = 6

Astfel, x = 6 este rezultatul ecuației.

Exemplul 2
9 la puterea dreptei x plus 1 capăt al exponențialului egal cu 81

Echivalăm bazele folosind factorizarea.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Inlocuind in ecuatie:

paranteze deschise 3 paranteze închise la pătrat la puterea lui x plus 1 capăt al exponențialului egal cu 3 la puterea lui 4

Folosind proprietatea puterii unei puteri, înmulțim exponenții din partea stângă.

3 la puterea lui 2 x plus 2 capătul exponențialului egal cu 3 la puterea lui 4

Cu bazele egale, le putem arunca și egalăm exponenții.

2 drept x plus 2 este egal cu 4 2 drept x este egal cu 4 minus 2 2 drept x este egal cu 2 drept x este egal cu 2 peste 2 este egal cu 1

Astfel, x = 1 este rezultatul ecuației.

Exemplul 3

0 virgulă 75 la puterea dreptei x egală cu 9 pe 16 spațiu

Transformăm baza 0,75 într-o fracție centezimală.

paranteze deschise 75 peste 100 paranteze închise la puterea dreptei x egală cu 9 peste 16 spațiu

Simplificam fractia centezimala.

deschide paranteze 3 peste 4 închide paranteze la puterea dreptei x egală cu 9 peste 16 spațiu

Factorim 9 și 16.

paranteze deschise 3 peste 4 paranteze închise la puterea dreptei x egală cu 3 pătrat peste 4 pătrat

Echivalând bazele, avem x = 2.

deschide paranteze 3 peste 4 închide paranteze la puterea pătrată x egală cu paranteze deschise 3 peste 4 închide paranteze la pătrat

x = 2

Exemplul 4

Transformăm rădăcina într-o putere.

4 la puterea lui x egal cu 32 la puterea a 1 treime de capăt al exponențialului

Factorăm bazele de putere.

paranteze deschise 2 paranteze închise la pătrat la puterea lui x egală cu parantezele deschise 2 la puterea a 5 paranteze închise la puterea a 1 treime de capăt exponențial

Înmulțind exponenții, egalăm bazele.

2 la puterea lui 2 x capătul exponențialului egal cu 2 la puterea lui 5 peste 3 capătul exponențial

Prin urmare, trebuie să:

$2 drepte x egal cu 5 peste 3 drepte x egal cu numărătorul 5 peste numitor 2.3 sfârșitul fracției este egal cu 5 peste 6$

Exemplul 5

Factorizarea 25

paranteze deschise 5 pătrat paranteze închise la puterea dreptei x minus 6,5 la puterea dreptei x plus 5 este egal cu 0

Rescriem puterea lui 5² în x. Schimbarea ordinii exponenților.

deschide paranteze 5 la puterea lui x închide paranteze la pătrat minus 6,5 la puterea lui x plus 5 este egal cu 0

Folosim o variabilă auxiliară, pe care o vom numi y.

5 la puterea dreptei x este egală cu y drept (păstrați această ecuație, o vom folosi mai târziu).

Înlocuind în ecuația anterioară.

drept y pătrat minus 6. drept y plus 5 este egal cu 0 drept y pătrat minus 6 drept y plus 5 este egal cu 0

Rezolvând ecuația pătratică, avem:

increment este egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu paranteza stângă minus 6 paranteza dreaptă pătrat minus 4.1.5 increment este egal cu 36 minus 20 increment este egal cu 16

$drept y cu 1 indice este egal cu numărătorul minus drept b plus rădăcina pătrată a incrementului peste numitorul 2. drept la sfârșitul fracției drepte y cu 1 indice egal cu numărătorul minus paranteza stângă minus 6 paranteza dreaptă plus rădăcina pătrată a lui 16 peste numitorul 2.1 sfârșitul fracției drepte y cu 1 indice egal cu numărătorul 6 plus 4 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egal cu 10 peste 2 egal cu 5$

$drept y cu 2 indice este egal cu numărătorul minus drept b minus rădăcina pătrată a incrementului peste numitorul 2. drept la sfârșitul fracției drept y cu 2 indice egal cu numărătorul 6 minus 4 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egal cu 2 peste 2 egal cu 1$

Setul de soluții pentru ecuația pătratică este {1, 5}, totuși, aceasta nu este soluția pentru ecuația exponențială. Trebuie să ne întoarcem la variabila x, folosind 5 la puterea dreptei x este egală cu y drept.