În rezolvarea ecuației de gradul 2 x2 - 6x + 9 = 0, găsim două rădăcini egale cu 3. Folosind teorema descompunerii, factorizăm polinomul și obținem:
X2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
În acest caz, spunem că 3 este rădăcina multiplicității 2 sau rădăcina dublă a ecuației.
Astfel, dacă un polinom factorizat are ca rezultat următoarea expresie:
Putem spune că:
x = -5 este rădăcină cu multiplicitate 3 sau triplă rădăcină a ecuației p (x) = 0
x = -4 este rădăcină cu multiplicitate 2 sau rădăcină dublă a ecuației p (x) = 0
x = 2 este rădăcină cu multiplicitate 1 sau rădăcină simplă a ecuației p (x) = 0
În general, spunem că r este o rădăcină a multiplicității n, cu n ≥ 1, a ecuației p (x) = 0, dacă:
Rețineți că p (x) este divizibil cu (x - r)m și că condiția q (r) ≠ 0 înseamnă că r nu este o rădăcină a lui q (x) și garantează că multiplicitatea rădăcinii r nu este mai mare decât m.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația x4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, dat fiind că 3 este o rădăcină dublă.
Soluție: Se consideră p (x) polinomul dat. Prin urmare:
Rețineți că q (x) se obține împărțind p (x) la (x - 3)2.
Prin împărțirea la dispozitivul practic al lui Briot-Ruffini, obținem:
După efectuarea împărțirii, vedem că coeficienții polinomului q (x) sunt 1, -3 și -4. Astfel, q (x) = 0 va fi: x2 - 3x - 4 = 0
Să rezolvăm ecuația de mai sus pentru a determina celelalte rădăcini.
X2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 sau x = 4
Prin urmare, S = {-1, 3, 4}
Exemplul 2. Scrieți o ecuație algebrică de grad minim astfel încât 2 să fie o rădăcină dublă și - 1 să fie o singură rădăcină.
Soluție: Trebuie să:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Sau
De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia
Polinomiale - Matematica - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm
