Unele situații care implică progresii geometrice primesc o atenție specială în ceea ce privește dezvoltarea și soluția. Anumite secvențe geometrice, atunci când sunt adăugate, tind la o valoare numerică fixă, adică introducerea de termeni noi în suma face pe măsură ce seria geometrică se apropie din ce în ce mai mult de o valoare, acest tip de comportament se numește serie geometrică Convergent. Să analizăm următoarea progresie geometrică (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) a rațiunii q = 1/3, determinând următoarele situații: Y5 și S10.
Suma termenilor unei progresii geometrice
Pe măsură ce numărul termenilor crește, valoarea sumei termenilor din progresie se apropie de 6. Concluzionăm că suma secvenței (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) converge la 6 ori de câte ori sunt introduse elemente noi. Putem demonstra situația generală după cum urmează: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 +... = 6.
O altă situație care implică progresii geometrice este seria divergentă, care nu are tendința către un număr fixate ca convergenții, pe măsură ce cresc din ce în ce mai mult pe măsură ce noii termeni sunt introduși în progresie. Urmăriți PG
(3, 6, 12, 24, 48, ...) a raportului q = 2, să determinăm sumele când: n = 10 și n = 15.
Rețineți că suma a crescut odată cu numărul de termeni, S10 = 3069 și S15 = 98301, deci spunem că seria divergă, devine cât de mare dorești.
Revenind la studiul Seriei Convergente, putem determina o singură expresie care exprimă valoarea la care se apropie seria geometrică, pentru care vom lua în considerare câteva puncte. Să presupunem că raportul q își asumă valori în interval ] - 1 și 1 [, acesta este - 1 , astfel, putem concluziona că elementul qn al expresiei care determină suma termenilor unui PG tinde la zero pe măsură ce crește numărul de termeni n. În acest fel, putem considera qn = 0. Urmați demonstrația:
sNu = 1(qn – 1) = 1(0 – 1) = – 1 = 1
ce – 1 q – 1 q – 1 1 – ce
Deci, urmează următoarea expresie:
sNu = 1, –1 1 – ce
de Mark Noah
Absolvent în matematică
Echipa școlii din Brazilia
Progresii - Matematică - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm