Exersați-vă cunoștințele despre sisteme liniare, un subiect important de matematică care implică studiul ecuațiilor simultane. Cu multe aplicații practice, acestea sunt utilizate pentru a rezolva probleme care implică diferite variabile.
Toate întrebările sunt rezolvate pas cu pas, unde vom folosi diferite metode, precum: înlocuirea, adăugarea, eliminarea, scalarea și regula lui Cramer.
Întrebarea 1 (metoda de înlocuire)
Să se determine perechea ordonată care rezolvă următorul sistem de ecuații liniare.
Raspuns:
Izolarea lui x în prima ecuație:
Inlocuind x in a doua ecuatie:
Înlocuind valoarea lui y în prima ecuație.
Deci, perechea ordonată care rezolvă sistemul este:
Întrebarea 2 (metoda de scalare)
Soluția următorului sistem de ecuații liniare este:
Răspuns: x = 5, y = 1, z = 2
Sistemul este deja în formă de eșalon. A treia ecuație are doi coeficienți zero (y = 0 și x = 0), a doua ecuație are un coeficient zero (x = 0), iar a treia ecuație nu are coeficienți zero.
Într-un sistem eșalon, rezolvăm „de jos în sus”, adică începem cu a treia ecuație.
Trecând la ecuația de sus, înlocuim z = 2.
În final, înlocuim z = 2 și y = 1 în prima ecuație, pentru a obține x.
Soluţie
x = 5, y = 1, z = 2
Întrebarea 3 (regula sau metoda lui Cramer)
Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare:
Răspuns: x = 4, y = 0.
Folosind regula lui Cramer.
Pasul 1: determinați determinanții D, Dx și Dy.
Matricea de coeficienți este:
Determinantul lui:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Pentru calculul lui Dx, înlocuim coloana de termeni ai lui x cu coloana de termeni independenți.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Pentru calculul lui Dy, înlocuim termenii lui y cu termenii independenți.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
pasul 2: determinați x și y.
Pentru a determina x, facem:
Pentru a determina y, facem:
intrebarea 4
Un vânzător de tricouri și șepci la un eveniment sportiv a vândut 3 tricouri și 2 șepci, strângând un total de 220,00 R$. A doua zi, a vândut 2 cămăși și 3 șepci, strângând 190,00 R$. Care ar fi prețul unui tricou și prețul unei șepci?
a) Tricou: 60,00 BRL | Plafon: 40,00 BRL
b) Tricou: 40,00 BRL | Plafon: 60,00 BRL
c) Tricou: 56,00 BRL | Plafon: 26,00 BRL
d) Tricou: 50,00 BRL | Plafon: 70,00 BRL
e) Tricou: 80,00 BRL | Limită: 30,00 BRL
Să etichetăm prețul tricourilor c și prețul pălăriilor b.
Pentru prima zi avem:
3c + 2b = 220
Pentru a doua zi avem:
2c + 3b = 190
Formăm două ecuații cu două necunoscute fiecare, c și b. Deci avem un sistem de ecuații liniare 2x2.
Rezoluţie
Folosind regula lui Cramer:
Pasul 1: determinant al matricei de coeficienți.
Pasul 2: determinant Dc.
Înlocuim coloana lui c cu matricea termenilor independenți.
Pasul 3: determinantul Db.
Pasul 4: determinați valoarea lui c și b.
Raspuns:
Prețul tricoului este de 56,00 R$, iar șapca este de 26,00 R$.
intrebarea 5
Un cinematograf costă 10,00 R$ pe bilet pentru adulți și 6,00 R$ pe bilet pentru copii. Într-o singură zi, s-au vândut 80 de bilete, iar colecția totală a fost de 700,00 R$. Câte bilete de fiecare tip s-au vândut?
a) Adulti: 75 | Copii: 25
b) Adulti: 40 | Copii: 40
c) Adulti: 65 | Copii: 25
d) Adulti: 30 | Copii: 50
e) Adulti: 25 | Copii: 75
Îl vom numi ca The prețul biletului pentru adulți și w pentru copii.
În raport cu numărul total de bilete avem:
a + c = 80
In ceea ce priveste valoarea obtinuta avem:
10a + 6c = 700
Formăm un sistem de ecuații liniare cu două ecuații și două necunoscute, adică un sistem 2x2.
Rezoluţie
Vom folosi metoda substituției.
Izolând a în prima ecuație:
a = 80 - c
Inlocuind a in a doua ecuatie:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Inlocuind c in a doua ecuatie:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6y + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
intrebarea 6
Un magazin vinde tricouri, pantaloni scurți și pantofi. În prima zi au fost vândute 2 tricouri, 3 pantaloni scurți și 4 perechi de pantofi, în valoare totală de 350,00 R$. În a doua zi, au fost vândute 3 tricouri, 2 pantaloni scurți și 1 pereche de pantofi, în valoare totală de 200,00 R$. În a treia zi, s-au vândut 1 tricou, 4 pantaloni scurți și 2 perechi de pantofi, în valoare totală de 320,00 R$. Cât ar costa un tricou, pantaloni scurți și o pereche de pantofi?
a) Tricou: 56,00 BRL | Bermude: R$ 24,00 | Pantofi: 74,00 BRL
b) Tricou: 40,00 BRL | Bermude: R$ 50,00 | Pantofi: 70,00 BRL
c) Tricou: 16,00 BRL | Bermude: R$ 58,00 | Pantofi: 36,00 BRL
d) Tricou: 80,00 BRL | Bermude: R$ 50,00 | Pantofi: 40,00 BRL
e) Tricou: BRL 12,00 | Bermude: R$ 26,00 | Pantofi: 56,00 BRL
- c este prețul cămășilor;
- b este prețul pantalonilor scurti;
- s este prețul pantofilor.
Pentru prima zi:
2c + 3b + 4s = 350
Pentru a doua zi:
3c + 2b + s = 200
Pentru a treia zi:
c + 4b + 2s = 320
Avem trei ecuații și trei necunoscute, formând un sistem 3x3 de ecuații liniare.
Folosind regula lui Cramer.
Matricea coeficienților este
Determinantul său este D = 25.
Matricea coloanei de răspunsuri este:
Pentru a calcula Dc, înlocuim matricea coloanei de răspunsuri cu prima coloană din matricea coeficienților.
dc = 400
Pentru calculul Db:
Db = 1450
Pentru calculul Ds:
Ds = 900
Pentru a determina c, b și s, împărțim determinanții Dc, Db și Ds la determinantul principal D.
intrebarea 7
Un restaurant oferă trei variante de preparate: carne, salată și pizza. În prima zi au fost vândute 40 de preparate din carne, 30 de salate și 10 pizza, în valoare totală de 700,00 R$. În a doua zi, s-au vândut 20 de preparate din carne, 40 de salate și 30 de pizza, în valoare totală de 600,00 R$. În a treia zi, s-au vândut 10 preparate din carne, 20 de salate și 40 de pizza, în valoare totală de 500,00 R$. Cât ar costa fiecare fel de mâncare?
a) carne: 200,00 BRL | salata: R$ 15,00 | pizza: 10,00 BRL
b) carne: R$ 150,00 | salata: R$ 10,00 | pizza: 60,00 BRL
c) carne: 100,00 BRL | salata: R$ 15,00 | pizza: 70,00 BRL
d) carne: 200,00 BRL | salata: R$ 10,00 | pizza: 15,00 BRL
e) carne: 140,00 BRL | salata: R$ 20,00 | pizza: 80,00 BRL
Folosind:
- c pentru carne;
- s pentru salată;
- p pentru pizza.
În prima zi:
In a doua zi:
In cea de-a treia zi:
Prețul fiecărui fel de mâncare poate fi obținut prin rezolvarea sistemului:
Rezoluţie
Folosind metoda eliminarii.
Înmulțiți 20c + 40s + 30p = 6000 cu 2.
Scădeți a doua ecuație matriceală obținută din prima.
În matricea de mai sus, înlocuim această ecuație cu a doua.
Înmulțim a treia ecuație de mai sus cu 4.
Scăzând a treia ecuație din prima ecuație, obținem:
Inlocuind ecuatia obtinuta cu cea de-a treia.
Scăzând ecuațiile două și trei, avem:
Din a treia ecuație, obținem p = 80.
Înlocuind p în a doua ecuație:
50s + 50,80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50s = 1000
s = 1000/50 = 20
Înlocuind valorile lui s și p în prima ecuație:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Soluţie
p=80, s=20 și c=140
intrebarea 8
(UEMG) În plan, sistemul reprezintă o pereche de linii
a) coincidente.
b) distincte şi paralele.
c) linii concurente în punctul ( 1, -4/3 )
d) linii concurente în punctul ( 5/3, -16/9 )
Înmulțind prima ecuație cu două și adunând cele două ecuații:
Inlocuind x in ecuatia A:
intrebarea 9
(PUC-MINAS) Un anumit laborator a trimis 108 comenzi la farmaciile A, B si C. Se știe că numărul de comenzi trimise la farmacia B a fost de două ori numărul total de comenzi trimise la celelalte două farmacii. În plus, trei comenzi mai mult de jumătate din cantitatea expediată către farmacia A au fost expediate către farmacia C.
Pe baza acestor informații, este CORECT să menționăm că numărul total de comenzi trimise la farmaciile B și C a fost
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
Conform declaratiei avem:
A + B + C = 108.
De asemenea, cantitatea de B a fost de două ori mai mare decât cea a lui A + C.
B = 2(A + C)
Trei comenzi au fost expediate la farmacia C, mai mult de jumătate din cantitatea expediată la farmacia A.
C = A/2 + 3
Avem ecuații și trei necunoscute.
Folosind metoda substituției.
Pasul 1: înlocuiți al treilea cu al doilea.
Pasul 2: Înlocuiți rezultatul obținut și a treia ecuație în prima.
Pasul 3: Înlocuiți valoarea lui A pentru a determina valorile lui B și C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Pentru C:
Pasul 4: adăugați valorile lui B și C.
72 + 14 = 86
intrebarea 10
(UFRGS 2019) Astfel încât sistemul de ecuații liniare posibil şi determinat, este necesar şi suficient ca
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
Una dintre modalitățile de a clasifica un sistem ca posibil și determinat este prin metoda lui Cramer.
Condiția pentru aceasta este ca determinanții să fie diferiți de zero.
Facand determinantul D al matricei principale egal cu zero:
Pentru a afla mai multe despre sistemele liniare:
- Sisteme liniare: ce sunt, tipuri și cum se rezolvă
- Sisteme de ecuații
- Scalare a sistemelor liniare
- Regula lui Cramer
Pentru mai multe exerciții:
- Sisteme de ecuații de gradul I
ASTH, Rafael. Exerciții privind sistemele liniare rezolvate.Tot Materia, [n.d.]. Disponibil in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Acces la:
Vezi și tu
- Sisteme liniare
- Scalare a sistemelor liniare
- Sisteme de ecuații
- 11 exerciții privind înmulțirea matriceală
- Ecuația de gradul doi
- Exerciții privind inegalitatea
- 27 Exerciții de bază de matematică
- Regula lui Cramer