Exerciții de sisteme liniare rezolvate

protection click fraud

Exersați-vă cunoștințele despre sisteme liniare, un subiect important de matematică care implică studiul ecuațiilor simultane. Cu multe aplicații practice, acestea sunt utilizate pentru a rezolva probleme care implică diferite variabile.

Toate întrebările sunt rezolvate pas cu pas, unde vom folosi diferite metode, precum: înlocuirea, adăugarea, eliminarea, scalarea și regula lui Cramer.

Întrebarea 1 (metoda de înlocuire)

Să se determine perechea ordonată care rezolvă următorul sistem de ecuații liniare.

acolade deschise atribute tabel aliniere coloană sfârșitul stânga atribute rând cu celulă cu 3 drepte x minus 2 drept y este egal cu 1 capăt al rândului de celule cu celulă cu 6 drepte x minus 4 drept y este egal cu 7 capăt al celulei capătul tabelului închide

Vezi Răspuns

Raspuns: paranteze deschise 3 peste 4 spațiu virgulă 5 peste 8 paranteze închise

acolade deschise atribute tabel aliniere coloană sfârșitul stânga atribute rând cu celulă cu 3 drepte x minus 2 drept y egal cu 1 capăt al rândului de celule cu celulă cu 6 drepte x plus 4 drepte y egal cu 7 capăt de celulă capătul tabelului închide

Izolarea lui x în prima ecuație:

$3 drepte x minus 2 drepte y egal cu 1 3 drepte x egal cu 1 plus 2 drepte y drepte x egal cu numărătorul 1 plus 2 drepte y peste numitorul 3 sfârșitul fracției$

Inlocuind x in a doua ecuatie:

$6 paranteze deschise numărătorul 1 plus 2 drept y peste numitor 3 capătul fracției paranteze închise plus 4 drepte y egal cu 7 numărător 6 plus 12 drepte peste numitorul 3 sfârșitul fracției plus 4 drept y egal cu 7 numărător 6 plus 12 drept y peste numitorul 3 sfârșitul fracției plus numărătorul 3.4 drept y peste numitorul 3 sfârşitul fracţiei egal cu 7 numărător 6 plus 12 drept y plus 12 drept y peste numitor 3 sfârşitul fracţiei egal cu 7 numărător 6 plus 24 drept y peste numitor 3 sfârşit a fracției este egal cu 7 6 plus 24 drept y egal 7,3 6 plus 24 drept y egal cu 21 24 drept y egal cu 21 minus 6 24 drept y egal cu 15 drept y egal cu 15 peste 24 egal la 5 peste 8$

Înlocuind valoarea lui y în prima ecuație.

$3 x minus 2 y egal cu 1 3 x minus 2 5 peste 8 egal cu 1 3 x minus 10 peste 8 egal cu 1 3 x egal cu 1 plus 10 peste 8 3 x este egal cu 8 peste 8 plus 10 peste 8 3 x este egal cu 18 peste 8 x este egal cu numărătorul 18 peste numitor 8.3 Sfârșitul fracției x este egal cu 18 peste 24 este egal cu 3 peste 4$

Deci, perechea ordonată care rezolvă sistemul este:
paranteze deschise 3 peste 4 spațiu virgulă 5 peste 8 paranteze închise

Întrebarea 2 (metoda de scalare)

Soluția următorului sistem de ecuații liniare este:

acolade deschise tabelul atribute alinierea coloanei capătul din stânga al rândului de atribute cu celulă cu x drepte minus drept y plus drept z este egal cu 6 capătul rândului de celule cu celulă cu spațiu 2 drept y plus 3 drepte z este egal cu 8 capăt al rândului de celule cu celulă cu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu 4 z drept este egal cu 8 capăt al celulei capătul tabelului închide

Vezi Răspuns

Răspuns: x = 5, y = 1, z = 2

Sistemul este deja în formă de eșalon. A treia ecuație are doi coeficienți zero (y = 0 și x = 0), a doua ecuație are un coeficient zero (x = 0), iar a treia ecuație nu are coeficienți zero.

Într-un sistem eșalon, rezolvăm „de jos în sus”, adică începem cu a treia ecuație.

instagram story viewer

4 z este egal cu 8 z este egal cu 8 peste 4 este egal cu 2

Trecând la ecuația de sus, înlocuim z = 2.

2 drept y plus 3 drept z este egal cu 8 2 drept y plus 3.2 egal cu 8 2 drept y plus 6 egal cu 8 2 drept y egal cu 8 minus 6 2 drept y egal cu 2 drept y egal cu 2 peste 2 egal cu 1

În final, înlocuim z = 2 și y = 1 în prima ecuație, pentru a obține x.

drept x minus drept y plus drept z este egal cu 6 drept x minus 1 plus 2 este egal cu 6 drept x plus 1 este egal cu 6 drept x este egal cu 6 minus 1 drept x este egal cu 5

Soluţie

x = 5, y = 1, z = 2

Întrebarea 3 (regula sau metoda lui Cramer)

Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare:

acolade deschise atribute tabel aliniere coloană atribute capăt stânga rând cu celulă cu x drept minus drept y este egal cu 4 spații înguste la capătul rândului de celule cu celulă cu 2 drepte x cele mai drepte y este egal cu 8 la capătul celulei capătul tabelului închide

Vezi Răspuns

Răspuns: x = 4, y = 0.

Folosind regula lui Cramer.

Pasul 1: determinați determinanții D, Dx și Dy.

Matricea de coeficienți este:

deschideți paranteze rândul tabelului cu 1 celulă minus 1 capăt al rândului de celule cu 2 1 capăt al tabelului închideți parantezele

Determinantul lui:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Pentru calculul lui Dx, înlocuim coloana de termeni ai lui x cu coloana de termeni independenți.

deschideți paranteze rândul tabelului cu 4 celule minus 1 capăt al rândului de celule cu 8 1 capăt al tabelului închideți parantezele

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Pentru calculul lui Dy, înlocuim termenii lui y cu termenii independenți.

deschideți paranteze rând de masă cu 1 4 rând cu 2 8 sfârșit de masă închideți paranteze

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

pasul 2: determinați x și y.

Pentru a determina x, facem:

drept x este egal cu Dx peste drept D este egal cu 12 peste 3 este egal cu 4

Pentru a determina y, facem:

drept y egal cu Dy peste drept D este egal cu 0 peste 3 este egal cu 0

intrebarea 4

Un vânzător de tricouri și șepci la un eveniment sportiv a vândut 3 tricouri și 2 șepci, strângând un total de 220,00 R$. A doua zi, a vândut 2 cămăși și 3 șepci, strângând 190,00 R$. Care ar fi prețul unui tricou și prețul unei șepci?

a) Tricou: 60,00 BRL | Plafon: 40,00 BRL

b) Tricou: 40,00 BRL | Plafon: 60,00 BRL

c) Tricou: 56,00 BRL | Plafon: 26,00 BRL

d) Tricou: 50,00 BRL | Plafon: 70,00 BRL

e) Tricou: 80,00 BRL | Limită: 30,00 BRL

Raspunsul explicat

Să etichetăm prețul tricourilor c și prețul pălăriilor b.

Pentru prima zi avem:

3c + 2b = 220

Pentru a doua zi avem:

2c + 3b = 190

Formăm două ecuații cu două necunoscute fiecare, c și b. Deci avem un sistem de ecuații liniare 2x2.

acolade deschise atribute tabel aliniere coloane capăt stânga atribute rând cu celulă cu 3 c drept plus 2 drept b egal cu 220 de capăt al rândului de celule cu celulă cu 2 drepte c plus 3 drepte b egal cu 190 de capăt de celulă capăt de tabel închide

Rezoluţie

Folosind regula lui Cramer:

Pasul 1: determinant al matricei de coeficienți.

drept D spațiu paranteze deschise rând de masă cu 3 2 rând cu 2 3 capătul tabelului paranteze închise este egal cu 3,3 minus 2,2 este egal cu 9 minus 4 este egal cu 5

Pasul 2: determinant Dc.

Înlocuim coloana lui c cu matricea termenilor independenți.

Dc spațiu deschide paranteze tabel rând cu 220 2 rând cu 190 3 sfârșitul tabelului închide paranteze egal cu 220,3 minus 2.190 este egal cu 660 minus 380 este egal cu 280

Pasul 3: determinantul Db.

Db paranteze deschise rând de tabel cu 3 220 rând cu 2 190 de sfârșit de tabel închide paranteze egal cu 3 spațiu. spațiu 190 spațiu minus spațiu 2 spațiu. spațiu 220 spațiu este egal spațiu 570 minus 440 este egal cu 130

Pasul 4: determinați valoarea lui c și b.

linia dreaptă c este egală cu Dc peste dreapta D este egală cu 280 peste 5 este egală cu 56 dreaptă b este egală cu Db peste dreapta D este egală cu 130 peste 5 este egală cu 26

Raspuns:

Prețul tricoului este de 56,00 R$, iar șapca este de 26,00 R$.

intrebarea 5

Un cinematograf costă 10,00 R$ pe bilet pentru adulți și 6,00 R$ pe bilet pentru copii. Într-o singură zi, s-au vândut 80 de bilete, iar colecția totală a fost de 700,00 R$. Câte bilete de fiecare tip s-au vândut?

a) Adulti: 75 | Copii: 25

b) Adulti: 40 | Copii: 40

c) Adulti: 65 | Copii: 25

d) Adulti: 30 | Copii: 50

e) Adulti: 25 | Copii: 75

Raspunsul explicat

Îl vom numi ca The prețul biletului pentru adulți și w pentru copii.

În raport cu numărul total de bilete avem:

a + c = 80

In ceea ce priveste valoarea obtinuta avem:

10a + 6c = 700

Formăm un sistem de ecuații liniare cu două ecuații și două necunoscute, adică un sistem 2x2.

acolade deschise atributele tabelului alinierea coloanei atribute capătul din stânga rând cu celulă cu cel mai drept la cel mai drept c este egal cu 80 de capăt al rândului de celule cu celulă cu 10 drepte plus 6 drepte c este egal cu 700 de capăt de celulă capăt de tabel închide

Rezoluţie

Vom folosi metoda substituției.

Izolând a în prima ecuație:

a = 80 - c

Inlocuind a in a doua ecuatie:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Inlocuind c in a doua ecuatie:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

intrebarea 6

Un magazin vinde tricouri, pantaloni scurți și pantofi. În prima zi au fost vândute 2 tricouri, 3 pantaloni scurți și 4 perechi de pantofi, în valoare totală de 350,00 R$. În a doua zi, au fost vândute 3 tricouri, 2 pantaloni scurți și 1 pereche de pantofi, în valoare totală de 200,00 R$. În a treia zi, s-au vândut 1 tricou, 4 pantaloni scurți și 2 perechi de pantofi, în valoare totală de 320,00 R$. Cât ar costa un tricou, pantaloni scurți și o pereche de pantofi?

a) Tricou: 56,00 BRL | Bermude: R$ 24,00 | Pantofi: 74,00 BRL

b) Tricou: 40,00 BRL | Bermude: R$ 50,00 | Pantofi: 70,00 BRL

c) Tricou: 16,00 BRL | Bermude: R$ 58,00 | Pantofi: 36,00 BRL

d) Tricou: 80,00 BRL | Bermude: R$ 50,00 | Pantofi: 40,00 BRL

e) Tricou: BRL 12,00 | Bermude: R$ 26,00 | Pantofi: 56,00 BRL

Raspunsul explicat

c este prețul cămășilor;
b este prețul pantalonilor scurti;
s este prețul pantofilor.

Pentru prima zi:

2c + 3b + 4s = 350

Pentru a doua zi:

3c + 2b + s = 200

Pentru a treia zi:

c + 4b + 2s = 320

Avem trei ecuații și trei necunoscute, formând un sistem 3x3 de ecuații liniare.

acolade deschise atribute tabel aliniere coloane capăt stânga atribute rând cu celula com 2 drepte c plus 3 drepte b plus 4 drepte s egal cu 350 de capăt al rândului de celule cu celulă cu 3 c drept plus 2 b drept plus s drept este egal cu 200 de capăt al rândului de celule cu celulă cu c drept plus 4 b drept plus 2 s drept este egal cu 320 capăt de celulă capătul tabelului închide

Folosind regula lui Cramer.

Matricea coeficienților este

deschideți paranteze rând de masă cu 2 3 4 rând cu 3 2 1 rând cu 1 4 2 capătul tabelului închideți paranteze

Determinantul său este D = 25.

Matricea coloanei de răspunsuri este:

deschideți paranteze rând de masă cu 350 rând cu 200 rând cu 320 de capăt de masă închideți paranteze

Pentru a calcula Dc, înlocuim matricea coloanei de răspunsuri cu prima coloană din matricea coeficienților.

deschideți paranteze rând de masă cu 350 3 4 rânduri cu 200 2 1 rând cu 320 4 2 sfârșitul mesei închideți paranteze

dc = 400

Pentru calculul Db:

deschideți paranteze rând de masă cu 2 350 4 rânduri cu 3 200 1 rând cu 1 320 2 sfârșitul mesei închideți paranteze

Db = 1450

Pentru calculul Ds:

deschideți paranteze rând de masă cu 2 3 350 rând cu 3 2 200 rând cu 1 4 320 sfârșitul tabelului închideți paranteze

Ds = 900

Pentru a determina c, b și s, împărțim determinanții Dc, Db și Ds la determinantul principal D.

drept c este egal cu Dc peste drept D este egal cu 400 peste 25 este egal cu 16 drept b egal cu Db peste drept D este egal cu 1450 peste 25 este egal cu 58 drept s este egal cu D peste drept D este egal cu 900 peste 25 este egal cu 36

intrebarea 7

Un restaurant oferă trei variante de preparate: carne, salată și pizza. În prima zi au fost vândute 40 de preparate din carne, 30 de salate și 10 pizza, în valoare totală de 700,00 R$. În a doua zi, s-au vândut 20 de preparate din carne, 40 de salate și 30 de pizza, în valoare totală de 600,00 R$. În a treia zi, s-au vândut 10 preparate din carne, 20 de salate și 40 de pizza, în valoare totală de 500,00 R$. Cât ar costa fiecare fel de mâncare?

a) carne: 200,00 BRL | salata: R$ 15,00 | pizza: 10,00 BRL

b) carne: R$ 150,00 | salata: R$ 10,00 | pizza: 60,00 BRL

c) carne: 100,00 BRL | salata: R$ 15,00 | pizza: 70,00 BRL

d) carne: 200,00 BRL | salata: R$ 10,00 | pizza: 15,00 BRL

e) carne: 140,00 BRL | salata: R$ 20,00 | pizza: 80,00 BRL

Raspunsul explicat

Folosind:

c pentru carne;
s pentru salată;
p pentru pizza.

În prima zi:

40 drepte c plus 30 drepte s plus 10 drepte p sunt egale cu 7000

In a doua zi:

20 drepte c plus 40 drepte s plus 30 drepte p sunt egale cu 6000

In cea de-a treia zi:

10 drepte c plus 20 drepte s plus 40 drepte p sunt egale cu 5000

Prețul fiecărui fel de mâncare poate fi obținut prin rezolvarea sistemului:

acolade deschise tabelul atribute alinierea coloanei capătul din stânga al rândului atributelor cu celulă cu 40 de spațiu c drept plus spațiu 30 de spațiu drept s plus spațiu 10 p drept este egal cu 7000 capătul liniei celulare cu celulă cu 20 spațiu c drept plus spațiu 40 spațiu drept s plus spațiu 30 p drept egal 6000 de sfârșit al rândului de celule cu celulă cu 10 spații drepte c plus spațiu 20 spații drepte s plus spațiu 40 p drepte este egal cu 5000 sfârșitul celulei sfârșitul tabelului închide

Rezoluţie

Folosind metoda eliminarii.

Înmulțiți 20c + 40s + 30p = 6000 cu 2.

paranteze pătrate deschise rând de tabel cu celulă cu 40 c drepte plus 30 s drepte plus 10 p drepte este egal cu 7000 sfârșitul rândului de celule cu celulă cu 40 c drepte plus 80 s drepte plus 60 p drept este egal cu 12000 de capăt al rândului de celule cu celulă cu 10 c drept plus 20 s drept plus 40 p drept este egal cu 5000 sfârşitul celulei sfârşitul tabelului se închide paranteza patrata

Scădeți a doua ecuație matriceală obținută din prima.

50 de s drepte plus 50 de p drepte sunt egale cu 5000

În matricea de mai sus, înlocuim această ecuație cu a doua.

paranteze pătrate deschise rând de tabel cu celulă cu 40 c drept plus 30 s drept plus 10 p drept este egal cu 7000 sfârșitul rândului de celule cu celulă cu 50 s drept plus 50 p drept este egal cu 5000 de capăt al rândului de celule cu celulă cu 10 c drept plus 20 de s drept plus 40 p drept este egal cu 5000 de capăt de celulă Sfârșitul tabelului se închide paranteza patrata

Înmulțim a treia ecuație de mai sus cu 4.

Scăzând a treia ecuație din prima ecuație, obținem:

50 s drept plus 150 p drept este egal cu 13000

Inlocuind ecuatia obtinuta cu cea de-a treia.

Scăzând ecuațiile două și trei, avem:

rândul de tabel cu paranteze pătrate deschise cu celulă cu 40 c plus 30 s plus 10 p este egal cu 7000 sfârșitul rândului de celule cu celulă cu 50 s plus 50p este egal cu 5000 sfârșitul rândului de celule cu celula cu 100p este egal cu 8000 sfârșitul celulei sfârșitul tabelului se închide paranteza patrata

Din a treia ecuație, obținem p = 80.

Înlocuind p în a doua ecuație:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Înlocuind valorile lui s și p în prima ecuație:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Soluţie

p=80, s=20 și c=140

intrebarea 8

(UEMG) În plan, sistemul acolade deschise atribute tabel aliniere coloană sfârșitul stânga atribute rând cu celulă cu 2 drepte x plus 3 drepte y este egal cu minus 2 capăt al rândului de celule cu celulă cu 4 drepte x minus 6 drept y este egal cu 12 capăt al celulei capătul tabelului închide reprezintă o pereche de linii

a) coincidente.

b) distincte şi paralele.

c) linii concurente în punctul ( 1, -4/3 )

d) linii concurente în punctul ( 5/3, -16/9 )

Raspunsul explicat

Înmulțind prima ecuație cu două și adunând cele două ecuații:

acolade deschise atribute tabel aliniere coloană capătul din stânga atribute rând cu celulă cu două puncte drepte A 4 drepte x plus 6 drepte y egal cu minus 4 capăt de celulă rând cu celulă cu B drept două puncte 4 drept x minus 6 drept y egal cu 12 capătul celulei capătul tabelului închidere distanțier A spațiu plus spațiu drept B este egal cu 8 drept x este egal cu 8 drept x este egal cu 8 peste 8 este egal 1

Inlocuind x in ecuatia A:

$4.1 spațiu plus spațiu 6 y spațiu este egal cu spațiu minus 4 spațiu spațiu6 y spațiu este egal cu spațiu minus 4 spațiu minus spațiu 46 y este egal cu minus 8y este egal cu numărătorul minus 8 peste numitorul 6 sfârșitul fracției este egal cu minus 4 cam 3$

intrebarea 9

(PUC-MINAS) Un anumit laborator a trimis 108 comenzi la farmaciile A, B si C. Se știe că numărul de comenzi trimise la farmacia B a fost de două ori numărul total de comenzi trimise la celelalte două farmacii. În plus, trei comenzi mai mult de jumătate din cantitatea expediată către farmacia A au fost expediate către farmacia C.

Pe baza acestor informații, este CORECT să menționăm că numărul total de comenzi trimise la farmaciile B și C a fost

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Raspunsul explicat

Conform declaratiei avem:

A + B + C = 108.

De asemenea, cantitatea de B a fost de două ori mai mare decât cea a lui A + C.

B = 2(A + C)

Trei comenzi au fost expediate la farmacia C, mai mult de jumătate din cantitatea expediată la farmacia A.

C = A/2 + 3

Avem ecuații și trei necunoscute.

acolade deschise tabelul atribute alinierea coloanei capătul din stânga al atributelor rând cu celulă cu celulă drept A cel mai drept B cel mai drept C este egal cu 108 capătul rândului de celule cu celulă cu drept B este egal cu 2 paranteză din stânga drept A plus drept C paranteză din dreapta capătul rândului de celule cu celulă cu C drept este egal cu A drept 2 plus 3 capăt al celulei capătul tabelului închide

Folosind metoda substituției.

Pasul 1: înlocuiți al treilea cu al doilea.

drept B este egal cu 2 drepte A spațiu plus spațiu 2 drept Creto B este egal cu 2 drepte A spațiu plus spațiu 2 deschide paranteze pătrate A peste 2 plus 3 paranteză închisă B este egal cu 2 drepte A spațiu plus spațiu A spațiu plus spațiu 6 pătrat B este egal cu 3 pătrat A spațiu plus spațiu 6

Pasul 2: Înlocuiți rezultatul obținut și a treia ecuație în prima.

$drept A plus drept B plus drept C este egal cu 108 drept A plus spațiu 3 drept A plus 6 spațiu plus drept spațiu A peste 2 plus 3 spațiu este egal spațiu 1084 drept A spațiu plus spațiu drept A peste 2 este egal cu 108 spațiu minus spațiu 9numărător 9 drept A peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu 999 drept Un spațiu este egal cu spațiul 99 spaţiu. spațiu 29 drept Un spațiu este egal cu spațiu 198 drept Un spațiu este egal cu spațiu 198 peste 9 drept Un spațiu este egal cu spațiu 22$

Pasul 3: Înlocuiți valoarea lui A pentru a determina valorile lui B și C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Pentru C:

linia C este egală cu 22 peste 2 plus 3 linia C este egală cu 11 plus 3 este egal cu 14

Pasul 4: adăugați valorile lui B și C.

72 + 14 = 86

intrebarea 10

(UFRGS 2019) Astfel încât sistemul de ecuații liniare acolade deschise atribute tabel aliniere coloană atribute capăt stânga rând cu celulă cu x drept plus drept y este egal cu 7 capăt al rândului de celule cu celulă cu ax plus 2 drepte y egal cu 9 capăt al celulei capătul tabelului închide posibil şi determinat, este necesar şi suficient ca

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Raspunsul explicat

Una dintre modalitățile de a clasifica un sistem ca posibil și determinat este prin metoda lui Cramer.

Condiția pentru aceasta este ca determinanții să fie diferiți de zero.

Facand determinantul D al matricei principale egal cu zero:

deschideți paranteze rândul tabelului cu 1 1 rând cu un 2 capăt de tabel închideți parantezele nu sunt egale cu 01 spațiu. spațiu 2 spațiu minus spațiu cu spațiu. spațiu 1 nu este egal cu 02 spațiu mai mic decât nu este egal 02 nu este egal cu

Pentru a afla mai multe despre sistemele liniare:

Sisteme liniare: ce sunt, tipuri și cum se rezolvă
Sisteme de ecuații
Scalare a sistemelor liniare
Regula lui Cramer

Pentru mai multe exerciții:

Sisteme de ecuații de gradul I

ASTH, Rafael. Exerciții privind sistemele liniare rezolvate.Tot Materia, [n.d.]. Disponibil in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Acces la:

Vezi și tu