A proporţie de aur sau proporția divină este o egalitate asociată cu ideile de armonie, frumusețe și perfecțiune. Euclid din Alexandria, matematician grec care a trăit în jurul anului 300 î.Hr. C., a fost unul dintre primii gânditori care a oficializat acest concept care până astăzi intrigă cercetătorii din diferite domenii.
Motivul acestui interes este că raportul de aur poate fi observat într-un mod aproximativ în natură, inclusiv în semințele și frunzele plantelor și în corpul uman. În consecință, raportul de aur este subiect de studiu de către diferiți profesioniști, precum biologi, arhitecți, artiști și designeri.
Citeste si: Numărul pi - una dintre cele mai importante constante din matematică
Subiectele acestui articol
- 1 - Rezumatul raportului de aur
- 2 - Cum se calculează numărul de aur?
- 3 - Raportul de aur și șirul lui Fibonacci
- 4 - Raportul de aur și dreptunghiul de aur
-
5 - Aplicații ale raportului de aur
- Raportul de aur în arhitectură
- Raportul de aur în corpul uman
- raportul de aur în art
- Raportul de aur în natură
- Raportul de aur în design
- 6 - Exerciții rezolvate pe raportul de aur
Rezumat despre raportul de aur
Raportul de aur este raportul pentru \(a>b>0\) astfel încât
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
În aceste condiții, motivul TheB se numește proporția de aur.
Raportul de aur este legat de concepțiile de echilibru, puritate și perfecțiune.
Litera greacă ϕ (a se citi: fi) reprezintă numărul de aur, care este constanta obținută din raportul de aur.
În șirul lui Fibonacci, coeficientii dintre fiecare termen și predecesorul său se apropie de numărul de aur.
Dreptunghiul de aur este un dreptunghi ale cărui laturi sunt în raportul de aur.
Ce este proporția de aur?
Luați în considerare un segment de linie împărțit în două bucăți: cea mai mare de măsură The iar cel mai mic B. realiza asta a+b este măsura întregului segment.
raportul de aur este egalitatea printre motive\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Este \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), adică
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
În acest context, spunem că The Este B sunt în proporție de aur.
Dar pentru ce valori The Este B avem proporția de aur? Asta vom vedea în continuare.
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
Cum se calculează numărul de aur?
Motivul \(\frac{a}b\)(sau, la fel, Motivul \(\frac{a+b}a\)) rezultă o constantă numită număr de aur și reprezentată prin litera greacă ϕ. Astfel, este obișnuit să scrieți
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Pentru a calcula numărul de aur, să luăm în considerare raportul de aur pentru b = 1. Astfel, putem găsi cu ușurință valoarea lui The și obțineți ϕ din egalitate \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Rețineți că putem scrie raportul de aur după cum urmează, folosind proprietatea de multiplicare încrucișată:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Înlocuind b = 1, avem
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Aplicând formula lui Bhaskara pentru această ecuație pătratică, concluzionăm că soluția pozitivă a The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
La fel de The este o măsură a unui segment, vom ignora soluția negativă.
Așa cum \(\frac{a}b=ϕ\), Valoarea exactă a numărului de aur este:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Calculând coeficientul, obținem Valoarea aproximativă a numărului de aur:
\(ϕ≈1,618033989\)
Vezi si: Cum se rezolvă operații matematice cu fracții?
Raportul de aur și succesiunea Fibonacci
A Secvența Fibonacci este o listă de numere unde fiecare termen, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi predecesori. Să ne uităm la primii zece termeni ai acestei secvențe:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Pe măsură ce calculăm coeficientul între fiecare termen și predecesorul său din șirul lui Fibonacci, ne apropiem de numărul de aur ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Raportul de aur și dreptunghiul de aur
unu dreptunghi unde partea cea mai lungă The iar partea mai mică B sunt în proporție de aur se numește dreptunghi de aur. Un exemplu de dreptunghi auriu este un dreptunghi ale cărui laturi măsoară 1 cm și \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Aflați mai multe: Ce sunt mărimile direct proporționale?
Aplicații ale raportului de aur
Rețineți că, până acum, am studiat proporția de aur doar în contexte matematice abstracte. În continuare, vom vedea câteva exemple aplicate, dar este nevoie de grijă: raportul de aur nu este prezentat exact în niciunul dintre aceste cazuri. Ceea ce există sunt analize ale diferitelor contexte în care numărul de aur apare astfelaproximativ.
Raportul de aur în arhitectură
Unele studii susțin că estimări ale numărului de aur sunt observate în anumite rapoarte ale dimensiunilor Piramidei lui Keops, din Egipt, și ale clădirii sediului ONU, din New York.
Raportul de aur în corpul uman
Măsurătorile corpului uman variază de la o persoană la alta și nu există un tip de corp perfect. Cu toate acestea, cel puțin încă din Grecia Antică, au existat dezbateri despre un corp ideal din punct de vedere matematic (și total de neatins în realitate), cu măsurători legate de raportul de aur. În acest context teoretic, de exemplu, raportul dintre înălțimea unei persoane și distanța dintre buricul său și sol ar fi numărul de aur.
raportul de aur în art
Există cercetări asupra lucrărilor „Omul Vitruvian” și „Mona Lisa”, ale italianului Leonardo da Vinci, care sugerează utilizarea dreptunghiurilor de aur.
Raportul de aur în natură
Există studii care indică a relația dintre raportul de aur și modul în care sunt distribuite frunzele anumitor plante pe o tulpină. Acest aranjament al frunzelor se numește filotaxie.
Raportul de aur în design
Raportul de aur este, de asemenea, studiat și utilizat în zona de design ca a instrument de compunere a proiectului.
Exerciții rezolvate pe proporția de aur
intrebarea 1
(Enem) Un segment de linie este împărțit în două părți în raportul de aur atunci când întregul este la una dintre părți în același raport în care această parte este față de cealaltă. Această constantă de proporționalitate este reprezentată în mod obișnuit de litera greacă ϕ, iar valoarea ei este dată de soluția pozitivă a ecuației ϕ2 = ϕ+1.
La fel ca puterea \(ϕ^2\), puterile mai mari ale lui ϕ pot fi exprimate sub forma \(aϕ+b\), unde a și b sunt numere întregi pozitive, așa cum se arată în tabel.
potenta \(ϕ^7\), scris sub forma aϕ+b (a și b sunt numere întregi pozitive), este
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Rezoluţie
La fel de \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Trebuie să ne
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Aplicând distribuția,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
La fel de \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativă.
intrebarea 2
Evaluați fiecare afirmație de mai jos despre numărul de aur ca T (adevărat) sau F (fals).
i. Numărul de aur ϕ este irațional.
II. Coeficientii dintre fiecare termen și predecesorul său din șirul lui Fibonacci se apropie de valoarea lui ϕ.
III. 1,618 este rotunjirea la trei zecimale a numărului de aur ϕ.
Secvența corectă, de sus în jos, este
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Rezoluţie
i. Adevărat.
II. Adevărat.
III. Adevărat.
Alternativa A.
Surse
FRANCISCO, S. V. de la L. Între fascinație și realitatea raportului de aur. Disertație (Licență profesională de master în matematică în rețeaua națională) – Institutul de Bioștiințe, Litere și Științe Exacte, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Disponibil in: http://hdl.handle.net/11449/148903.
Vânzări, J. de la S. Raportul de aur prezent în natură. Finalizarea cursului (Licență în Matematică), Institutul Federal de Educație, Știință și Tehnologie din Piauí. Piauí, 2022. Disponibil in http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Înțelegeți ce este și cum să calculați viteza medie și densitatea populației.
Aflați ce este și cum să utilizați formula lui Bhaskara pentru a rezolva ecuații patratice!
Înțelegeți ce sunt mărimile direct proporționale și învățați cum să rezolvați situațiile problematice care implică acest tip de relație.
Aflați aici cum să determinați dacă două cantități sau numere sunt invers proporționale. Consultați exemple și exercițiu pe această temă!
Află aici ce este o proporție și cum să o calculezi. Vedeți și proprietățile sale principale și înțelegeți ce sunt mărimile proporționale.
Vezi aici diferitele modalități de a reprezenta un raport, vezi și definiția și câteva aplicații ale proporției. Aflați cum să aplicați aceste concepte.
Învață să folosești regula compusă a trei pentru a găsi valori necunoscute și probleme cu trei sau patru cantități.
Cunoaște regula de trei. Înțelegeți ce sunt mărimile directe și invers proporționale. Cunoașteți diferența dintre regula simplă a trei și regula compusă.
Secvențe numerice: Secvență Fibonacci.
