THE Teorema bisectoarei interne a fost dezvoltată special pentru triunghiuri și arată că atunci când trasăm bisectoarea internă a unui unghi al triunghiului, punctul de întâlnire al bisectoarei cu latura opusă ei împarte acea latură în segmente de linie proporțional cu laturile adiacente ale acelui unghi. Cu aplicarea teoremei bisectoarei interne se poate determina valoarea laturii sau segmentelor triunghiului folosind proportia dintre ele.
Vezi si: Mediana, bisectoarea unghiului și înălțimea unui triunghi — care este diferența?
Rezumat despre teorema bisectoarei interne:
Bisectoarea este a raza care împarte unghiul în două unghiuri congruente.
Teorema bisectoarei interne este specifică triunghiurilor.
Această teoremă demonstrează că bisectoarea împarte partea opusă în segmente proporționale spre laturile adiacente unghi.
Lecție video despre teorema bisectoarei interne
Ce este teorema bisectoarei?
Înainte de a înțelege ce spune teorema bisectoarei interioare, este important să știm ce este bisectoarea unui unghi. Este o rază care împarte unghiul în două părți congruente.
, adică două părți care au aceeași măsură.
Înțelegând ce este bisectoarea, observăm că aceasta există la unghiul interior al unui triunghi. Când delimităm bisectoarea unui unghi al triunghiului, aceasta va împărți latura opusă în două segmente. În ceea ce privește bisectoarea internă, teorema sa spune că cele două segmente împărțite de el sunt proporționale cu laturile adiacente ale unghiului.
Rețineți că bisectoarea împarte latura AC în două segmente, AD și DC. Teorema bisectoarei arată că:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Aflați mai multe: Teorema lui Pitagora — o altă teoremă dezvoltată pentru triunghiuri
Demonstrarea teoremei bisectoarei interne
În triunghiul ABC de mai jos, vom delimita segmentul BD, care este bisectoarea acestui triunghi. Mai mult, vom urmări prelungirea laturii sale CB și a segmentului AE, paralel cu BD:
Unghiul AEB este congruent cu unghiul DBC, deoarece CE este a Drept transversal pe segmentele paralele AE si BD.
aplicarea teorema lui Thales, am ajuns la concluzia că:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Acum noi rămâne să arătăm că BE = AB.
Deoarece x este măsura unghiului ABD și DBC, analizând unghiul ABE, obținem:
ABE = 180 - 2x
Dacă y este măsura unghiului EAB, avem următoarea situație:
Știm că suma unghiurilor interioare ale triunghiului ABE este 180°, deci putem calcula:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Dacă unghiul x și unghiul y au aceeași măsură, triunghiul ABE este isoscel. Prin urmare, latura AB = AE.
Deoarece suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este întotdeauna egală cu 180°, în triunghiul ACE avem:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Deoarece y = x, triunghiul ACE este isoscel. Prin urmare, segmentele AE și AC sunt congruente. Schimbarea AE cu AC in motiv, se dovedește că:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Exemplu:
Găsiți valoarea lui x în următorul triunghi:
Analizând triunghiul, obținem următorul raport:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Înmulțirea încrucișată:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Citeste si: Puncte notabile ale unui triunghi - Ce sunt ele?
Exerciții rezolvate pe teorema bisectoarei interne
intrebarea 1
Privind triunghiul de mai jos, putem spune că valoarea lui x este:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Rezoluţie:
Alternativa D
Aplicând teorema bisectoarei interne, obținem următorul calcul:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Înmulțirea încrucișată:
\(27x=18\ \stânga (30-x\dreapta)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
intrebarea 2
Analizați următorul triunghi, știind că măsurătorile dvs. au fost date în centimetri.
Perimetrul triunghiului ABC este egal cu:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Rezoluţie:
Alternativa C
Aplicând teorema bisectoarei, vom găsi mai întâi valoarea lui x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Astfel, laturile necunoscute masoara:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Amintindu-și că lungime gabarit folosit a fost cm, the perimetru din acest triunghi este egal cu:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm