Un ecuație polinomială se caracterizează prin a avea o polinom egal cu zero. Poate fi caracterizat prin gradul polinomului și cu cât acest grad este mai mare, cu atât este mai mare gradul de dificultate în găsirea soluției sau rădăcinii sale.
De asemenea, este important, în acest context, să înțelegem care este teorema fundamentală a algebrei, care afirmă că fiecare ecuație polinomială are cel puțin o soluție complexă, cu alte cuvinte: o ecuație de gradul unu va avea cel puțin o soluție, o ecuație de gradul doi va avea cel puțin două soluții și așa mai departe.
Citeste si tu: Care sunt clasele de polinoame?
Ce este o ecuație polinomială
O ecuație polinomială se caracterizează prin faptul că are un polinom egal cu zero, astfel, fiecare expresie de tip P(x) = 0 este o ecuație polinomială, unde P(x) este un polinom. Mai jos este cazul general al unei ecuații polinomiale și câteva exemple.
ConsideraNu, An -1, A n -2, …, The1, A0 și x numere reale, iar n este un întreg pozitiv, următoarea expresie este o ecuație polinomială de grad n.
- Exemplu
Următoarele ecuații sunt polinoame.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Ca și polinoamele, ecuațiile polinomiale au gradul lor. Pentru a determina gradul unei ecuații polinomiale, trebuie doar să găsiți cea mai mare putere al cărei coeficient este diferit de zero. Prin urmare, ecuațiile itemilor anteriori sunt, respectiv:
a) Ecuația provine din gradul al patrulea:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ecuația este din liceu:5X2 – 3 = 0.
c) Ecuația este din primul grad:6X – 1 = 0.
d) Ecuația este a lui gradul trei: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Cum se rezolvă o ecuație polinomială?
Metoda de rezolvare a unei ecuații polinomiale depinde de gradul acesteia. Cu cât este mai mare gradul unei ecuații, cu atât este mai dificil să o rezolvi. În acest articol, vom arăta metoda de rezolvare a ecuațiilor polinomiale ale gradul I, gradul II și bispătrat.
Ecuația polinomială de gradul I
O ecuație polinomială de gradul întâi este descrisă de a polinom de gradul 1. Deci putem scrie o ecuație de gradul I, în general, după cum urmează.
Luați în considerare două numere reale The și B cu a ≠ 0, următoarea expresie este o ecuație polinomială de gradul întâi:
ax + b = 0
Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să folosim principiul echivalenței, adică tot ce se operează pe o parte a egalității trebuie să fie operat și pe cealaltă parte. Pentru a determina soluția unei ecuații de gradul întâi, trebuie izola necunoscutul. Pentru aceasta, primul pas este eliminarea B pe partea stângă a egalității și apoi scădeavâsle b de ambele părți ale egalității.
ax + b - B = 0 - B
ax = - b
Rețineți că valoarea necunoscutului x nu este izolată, coeficientul a trebuie eliminat din partea stângă a egalității și, pentru asta, să împărțim ambele părți la The.
- Exemplu
Rezolvați ecuația 5x + 25 = 0.
Pentru a rezolva problema, trebuie să folosim principiul echivalenței. Pentru a facilita procesul, vom omite scrierea operației pe partea stângă a egalității, fiind echivalent atunci a spune că vom „trece” numărul în cealaltă parte, schimbând semnul (operație inversă).
Aflați mai multe despre rezolvarea acestui tip de ecuație accesând textul nostru: Ecuație de gradul întâi cu o necunoscută.
Ecuația polinomială de gradul II
O ecuație polinomială de gradul doi are caracteristica a polinom de gradul doi. Deci, luați în considerare a, b și c numere reale cu a ≠ 0. O ecuație de gradul doi este dată de:
topor2 + bx + c = 0
Soluția dumneavoastră poate fi determinată folosind metoda bhaskara sau prin factoring. Dacă doriți să aflați mai multe despre ecuațiile de acest tip, citiți: Ecacţiunea de sal doilea grau.
→ Metoda Bhaskara
Folosind metoda lui Bhaskara, rădăcinile sale sunt date de următoarea formulă:
- Exemplu
Aflați soluția ecuației x2 – 3x + 2 = 0.
Rețineți că coeficienții ecuației sunt, respectiv, a = 1, b = – 3 și c = 2. Înlocuind aceste valori în formulă, trebuie să:
→ Factorizarea
Vezi că este posibil să factorizezi expresia x2 – 3x + 2 = 0 folosind ideea de factorizarea polinomială.
X2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Observați acum că avem un produs egal cu zero și un produs este egal cu zero numai dacă unul dintre factori este egal cu zero, deci trebuie să:
x – 2 = 0
x = 2
sau
x - 1 = 0
x = 1
Vezi că am găsit soluția ecuației folosind două metode diferite.
ecuație bi-pătrat
THE ecuație bispătrată este un caz particular al unei ecuații polinomiale de gradul al patrulea, în mod normal, o ecuație de gradul al patrulea ar fi scrisă sub forma:
topor4 + bx3 + cutie2 + dx + e = 0
unde numerele a B C D și și sunt reale cu a ≠ 0. O ecuație de gradul al patrulea este considerată bispătrată atunci când coeficienții b = d = 0, adică ecuația este sub forma:
topor4 + cutie2 + și = 0
Vedeți, în exemplul de mai jos, cum să rezolvați această ecuație.
- Exemplu
Rezolvați ecuația x4 – 10x2 + 9 = 0.
Pentru a rezolva ecuația, vom folosi următoarea modificare necunoscută și, ori de câte ori ecuația este bispătrată, vom face acea modificare.
X2 =p
Din ecuația bi-pătrat, observați că x4 = (x2)2 și prin urmare trebuie să:
X4 – 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
pentru2 – 10p + 9 = 0
Vezi că acum avem o ecuație polinomială de gradul doi și putem folosi metoda lui Bhaskara, astfel:
Totuși, trebuie să ne amintim că, la începutul exercițiului, s-a făcut o modificare necunoscută, așa că trebuie să aplicăm valoarea găsită în substituție.
X2 =p
Pentru p = 9 avem ca:
X2 = 9
x’ = 3
sau
x’’ = – 3
Pentru p = 1
X2 = 1
x’ = 1
sau
x’’ = – 1
Prin urmare, mulțimea soluției ecuației bispătrate este:
S = {3, –3, 1, –1}
Citeste si: Dispozitivul practic al lui Briot-Ruffini – împărțirea polinoamelor
Teorema fundamentală a algebrei (TFA)
Teorema fundamentală a algebrei (TFA), demonstrată de Gauss în 1799, afirmă că fiecare ecuație polinomială, după cum urmează, are cel puțin o rădăcină complexă.
Rădăcina unei ecuații polinomiale este soluția acesteia, adică valoarea necunoscută este ceea ce face ca egalitatea să fie adevărată. De exemplu, o ecuație de gradul întâi are o rădăcină deja determinată, la fel ca o ecuație de gradul doi, care are cel puțin două rădăcini, și un bispătrat, care are cel puțin patru rădăcini.
exercitii rezolvate
intrebarea 1 – Determinați valoarea lui x care face ca egalitatea să fie adevărată.
2x – 8 = 3x + 7
Rezoluţie
Rețineți că pentru a rezolva ecuația, este necesar să o organizați, adică să lăsați toate necunoscutele în partea stângă a egalității.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Prin principiul echivalenței, putem înmulți ambele părți ale egalității cu același număr și, deoarece dorim să găsim valoarea lui x, vom înmulți ambele părți cu –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
intrebarea 2 – Marcos are cu 20 R$ mai mult decât João. Împreună, reușesc să cumpere două perechi de adidași, costând R$ 80 fiecare pereche și fără bani rămasi. Câți reali are John?
Rezoluţie
Să presupunem că Mark are x reali, deoarece Ioan are 20 de reali în plus, deci are x + 20.
Marcaje → x reale
João → (x + 20) reali
cum au cumparat două perechi de adidași care a costat 80 de reale fiecare, așa că dacă punem părțile fiecăruia împreună, va trebui să:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Prin urmare, Mark avea 70 de reale, iar João, 90 de reale.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
