Matricea este un tabel format din numere reale, dispuse în rânduri și coloane. Numerele care apar în matrice se numesc elemente.
Profitați de întrebările la examenul de admitere rezolvate și comentate pentru a vă șterge toate îndoielile cu privire la acest conținut.
Problemele examenului de admitere au fost rezolvate
1) Unicamp - 2018
Fie a și b numere reale astfel încât matricea A = satisface ecuația A2= aA + bI, unde I este matricea de identitate de ordinul 2. Deci produsul ab este egal cu
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Pentru a afla valoarea produsului a.b, trebuie mai întâi să cunoaștem valoarea lui a și b. Deci, să luăm în considerare ecuația dată în problemă.
Pentru a rezolva ecuația, să calculăm valoarea lui A2, care se realizează prin înmulțirea matricei A de la sine, adică:
Această operație se face prin înmulțirea rândurilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua matrice, așa cum se arată mai jos:
În acest fel matricea A2 este la fel ca:
Având în vedere valoarea pe care tocmai am găsit-o și ne amintim că în matricea de identitate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1 și celelalte elemente sunt egale cu 0, ecuația va fi:
Acum trebuie să înmulțim matricea A cu numărul a și matricea identității cu numărul b.
Amintiți-vă că pentru a înmulți un număr cu o matrice, înmulțim numărul cu fiecare element al matricei.
Astfel, egalitatea noastră va fi egală cu:
Adăugând cele două matrice, avem:
Două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare sunt egale. În acest fel, putem scrie următorul sistem:
Izolând a în a doua ecuație:
Înlocuind valoarea găsită pentru a în prima ecuație, găsim valoarea lui b:
2 + b = 1
b = 1-2
b = -1
Astfel, produsul va fi dat de:
. b = - 1. 2
. b = - 2
Alternativă: a) −2.
2) Unesp - 2016
Un punct P, de coordonate (x, y) al planului cartesian ortogonal, este reprezentat de matricea coloanei. , precum și matricea coloanei
reprezintă, în planul cartesian ortogonal, punctul P de coordonate (x, y). Astfel, rezultatul multiplicării matricei
este o matrice de coloană care, în planul cartesian ortogonal, reprezintă în mod necesar un punct care este
a) o rotație de 180 ° a lui P în sensul acelor de ceasornic și cu centrul la (0, 0).
b) o rotație de P prin 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, cu centrul la (0, 0).
c) simetric al lui P față de axa orizontală x.
d) simetric al lui P față de axa y verticală.
e) o rotație de P prin 90º în sensul acelor de ceasornic și cu centrul la (0, 0).
Punctul P este reprezentat de o matrice, astfel încât abscisa (x) este indicată de elementul a.11 și ordonata (y) după elementul a21 a matricei.
Pentru a găsi noua poziție a punctului P, trebuie să rezolvăm înmulțirea matricilor prezentate și rezultatul va fi:
Rezultatul reprezintă noua coordonată a punctului P, adică abscisa este egală cu -y iar ordonata este egală cu x.
Pentru a identifica transformarea suferită de poziția punctului P, să reprezentăm situația în planul cartezian, așa cum se indică mai jos:
Prin urmare, punctul P, care la început a fost situat în cadranul 1 (abscisă pozitivă și ordonată), sa mutat în al doilea cadran (abscisă negativă și ordonată pozitivă).
La deplasarea în această nouă poziție, punctul a fost rotit în sens invers acelor de ceasornic, așa cum este reprezentat în imaginea de mai sus de săgeata roșie.
Încă trebuie să identificăm care a fost valoarea unghiului de rotație.
Conectând poziția inițială a punctului P la centrul axei carteziene și făcând același lucru în raport cu noua sa poziție P ', avem următoarea situație:
Rețineți că cele două triunghiuri indicate în figură sunt congruente, adică au aceleași măsurători. În acest fel, unghiurile lor sunt, de asemenea, aceleași.
În plus, unghiurile α și θ sunt complementare, deoarece suma unghiurilor interne ale triunghiurilor este egală cu 180 ° și întrucât triunghiul este dreptunghiular, suma acestor două unghiuri va fi egală cu 90 °.
Prin urmare, unghiul de rotație al punctului, indicat în figură de β, poate fi egal cu 90º.
Alternativă: b) o rotație de 90 ° a lui P în sens invers acelor de ceasornic, cu centrul la (0, 0).
3) Unicamp - 2017
Deoarece a este un număr real, luați în considerare matricea A = . Asa ca2017 este la fel ca
)
B)
ç)
d)
În primul rând, să încercăm să găsim un model pentru puteri, deoarece este mult de lucru să multiplici matricea A de la sine de 2017 ori.
Amintindu-ne că în multiplicarea matricei, fiecare element se găsește prin adăugarea rezultatelor înmulțirii elementelor din rândul unuia cu elementele din coloana celuilalt.
Să începem prin calcularea lui A2:
Rezultatul a fost matricea identității și, atunci când înmulțim orice matrice cu matricea identității, rezultatul va fi matricea însăși.
Prin urmare, valoarea lui A3 va fi egal cu matricea A în sine, deoarece A3 = A2. THE.
Acest rezultat va fi repetat, adică, atunci când exponentul este egal, rezultatul este matricea identității și când este impar, va fi matricea A în sine.
Deoarece 2017 este impar, atunci rezultatul va fi egal cu matricea A.
Alternativă: b)
4) UFSM - 2011
Diagrama dată reprezintă lanțul alimentar simplificat al unui ecosistem dat. Săgețile indică specia cu care se hrănesc celelalte specii. Atribuind o valoare 1 atunci când o specie se hrănește cu alta și zero, când apare opusul, avem următorul tabel:
Matricea A = (aij)4x4, asociat tabelului, are următoarea lege de instruire:
Deoarece numărul rândului este indicat de i și numărul coloanei indicat de j, și uitându-ne la tabel, observăm că atunci când i este egal cu j, sau i este mai mare decât j, rezultatul este zero.
Pozițiile ocupate de 1 sunt cele în care numărul coloanei este mai mare decât numărul liniei.
Alternativă: c)
5) Unesp - 2014
Luați în considerare ecuația matricei A + BX = X + 2C, a cărei necunoscută este matricea X și toate matricile sunt pătrate de ordinul n. Condiția necesară și suficientă pentru ca această ecuație să aibă o singură soluție este că:
a) B - I ≠ O, unde I este matricea identității ordinii n și O este matricea nulă a ordinii n.
b) B este inversabil.
c) B ≠ O, unde O este matricea nulă de ordinul n.
d) B - I este inversabil, unde I este matricea de identitate de ordinul n.
e) A și C sunt inversabile.
Pentru a rezolva ecuația matricei, trebuie să izolăm X pe o parte a semnului egal. Pentru a face acest lucru, să scădem inițial matricea A de ambele părți.
A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A
Acum, să scădem X, și pe ambele părți. În acest caz, ecuația va fi:
BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A
Deoarece I este matricea identității, atunci când înmulțim o matrice cu identitatea, rezultatul este matricea însăși.
Deci, pentru a izola X, acum trebuie să înmulțim ambele părți ale semnului egal cu matricea inversă a (B-I), adică:
X. (B - I). (B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)
Amintindu-ne că atunci când o matrice este inversabilă, produsul matricei de către invers este egal cu matricea de identitate.
X = (B - I) - 1. (2C - A)
Astfel, ecuația va avea o soluție atunci când B - I este inversabil.
Alternativă: d) B - I este inversabilă, unde I este matricea identitară de ordinul n.
6) Enem - 2012
Un elev a înregistrat notele bilunare ale unora dintre subiectele sale într-un tabel. El a menționat că intrările numerice din tabel formează o matrice 4x4 și că ar putea calcula medii anuale pentru aceste discipline folosind produsul matricelor. Toate testele au avut aceeași greutate, iar tabelul pe care l-a primit este prezentat mai jos
Pentru a obține aceste medii, a înmulțit matricea obținută din tabel cu
Media aritmetică este calculată prin adăugarea tuturor valorilor și împărțirea la numărul de valori.
Astfel, elevul trebuie să adauge notele celor 4 bimestere și să împartă rezultatul la 4 sau să înmulțească fiecare notă cu 1/4 și să adauge toate rezultatele.
Folosind matrici, putem obține același rezultat prin multiplicarea matricii.
Cu toate acestea, trebuie să ne amintim că este posibil să se înmulțească două matrice numai atunci când numărul de coloane într-una este egal cu numărul de rânduri din cealaltă.
Deoarece matricea notelor are 4 coloane, matricea pe care urmează să o înmulțim trebuie să aibă 4 rânduri. Astfel, trebuie să înmulțim cu matricea coloanei:
Alternativă: și
7) Fuvest - 2012
Luați în considerare matricea , pe ce este un număr real. Știind că A admite inversul A-1 a cărei primă coloană este
, suma elementelor diagonalei principale a lui A-1 este la fel ca
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Înmulțirea unei matrice cu inversul acesteia este egală cu matricea identității, deci putem reprezenta situația prin următoarea operație:
Rezolvând înmulțirea celui de-al doilea rând al primei matrice cu prima coloană a celei de-a doua matrice, avem următoarea ecuație:
(până la 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
Al 2-lea2 - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
Al 2-lea2 - al patrulea = 0
2nd (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2
Înlocuind valoarea lui a în matrice, avem:
Acum, că cunoaștem matricea, să calculăm determinantul acesteia:
Astfel, suma diagonalei principale va fi egală cu 5.
Alternativă: a) 5
Pentru a afla mai multe, consultați și:
- Matrici
- Determinanți
- Regula lui Sarrus
- Teorema lui Laplace
- Matricea transpusă
