Sistemele de ecuații de gradul 1 sunt constituite dintr-un set de ecuații care prezintă mai multe necunoscute.
Rezolvarea unui sistem înseamnă găsirea valorilor care satisfac simultan toate aceste ecuații.
Multe probleme sunt rezolvate prin sisteme de ecuații. Prin urmare, este important să cunoașteți metodele de rezolvare pentru acest tip de calcul.
Profitați de exercițiile rezolvate pentru a vă rezolva toate îndoielile cu privire la acest subiect.
Probleme comentate și rezolvate
1) Ucenici marinari - 2017
Suma unui număr x și de două ori un număr y este - 7; iar diferența dintre triplul acelui număr x și numărul y este egală cu 7. Prin urmare, este corect să se afirme că produsul xy este egal cu:
a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2
Să începem prin construirea ecuațiilor luând în considerare situația propusă în problemă. Astfel, avem:
x + 2.y = - 7 și 3.x - y = 7
Valorile lui x și y trebuie să satisfacă ambele ecuații în același timp. Prin urmare, formează următorul sistem de ecuații:
Putem rezolva acest sistem prin metoda adaosului. Pentru a face acest lucru, să înmulțim a doua ecuație cu 2:
Adăugarea celor două ecuații:
Înlocuind valoarea lui x găsită în prima ecuație, avem:
1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
Astfel, produsul xy va fi egal cu:
x.y = 1. (- 4) = - 4
Alternativă: d) - 4
2) Colegiul Militar / RJ - 2014
Un tren călătorește dintr-un oraș în altul întotdeauna cu o viteză constantă. Când călătoria se face cu 16 km / h mai multă viteză, timpul petrecut scade cu două ore și jumătate, iar când se face cu 5 km / h mai puțin viteza, timpul petrecut crește cu o oră. Care este distanța dintre aceste orașe?
a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km
Deoarece viteza este constantă, putem folosi următoarea formulă:
Apoi, distanța se găsește făcând:
d = v.t
Pentru prima situație avem:
v1 = v + 16 și t1 = t - 2,5
Înlocuind aceste valori în formula distanței:
d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40
Putem înlocui v.t cu d în ecuație și simplifica:
-2,5v + 16t = 40
Pentru situația în care viteza scade:
v2 = v - 5 și t2 = t + 1
Efectuând aceeași înlocuire:
d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Cu aceste două ecuații, putem asambla următorul sistem:
Rezolvând sistemul prin metoda de substituție, să izolăm v în a doua ecuație:
v = 5 + 5t
Înlocuind această valoare în prima ecuație:
-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5
Să înlocuim această valoare pentru a găsi viteza:
v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h
Pentru a găsi distanța, pur și simplu înmulțiți valorile de viteză și timp găsite. Prin urmare:
d = 80. 15 = 1200 km
Alternativă: a) 1200 km
3) Ucenici de marinar - 2016
Un student a plătit o gustare de 8 reali în 50 de cenți și 1 real. Știind că, pentru această plată, studentul a folosit 12 monede, determină, respectiv, sumele de 50 de cenți și o monedă reală care au fost folosite pentru a plăti gustarea și a bifa opțiunea corectă.
a) 5 și 7
b) 4 și 8
c) 6 și 6
d) 7 și 5
e) 8 și 4
Având în vedere x numărul de monede de 50 de cenți, y numărul de monede de 1 dolar și suma plătită egală cu 8 reali, putem scrie următoarea ecuație:
0,5x + 1y = 8
Știm, de asemenea, că 12 monede au fost utilizate în plată, deci:
x + y = 12
Asamblarea și rezolvarea sistemului prin adăugare:
Înlocuind valoarea găsită a lui x în prima ecuație:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Alternativă: e) 8 și 4
4) Colégio Pedro II - 2014
Dintr-o cutie care conține B bile albe și P bile negre, au fost scoase 15 bile albe, rămânând între bilele rămase raportul de 1 alb la 2 negru. Apoi, 10 negri au fost îndepărtați, lăsând, în cutie, un număr de bile în raport de 4 albi la 3 negri. Un sistem de ecuații pentru determinarea valorilor lui B și P poate fi reprezentat prin:
Având în vedere prima situație indicată în problemă, avem următoarea proporție:
Înmulțind această proporție „într-o cruce”, avem:
2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30
Să facem același lucru pentru următoarea situație:
3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Punând împreună aceste ecuații într-un sistem, găsim răspunsul la problemă.
Alternativă: a)
5) Faetec - 2012
Carlos a rezolvat, într-un weekend, 36 de exerciții de matematică mai mult decât Nilton. Știind că numărul total de exerciții rezolvate de ambele a fost de 90, numărul de exerciții rezolvate de Carlos este egal cu:
a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18
Considerând x ca număr de exerciții rezolvate de Carlos și y ca număr de exerciții rezolvate de Nilton, putem configura următorul sistem:
Înlocuind x cu y + 36 în a doua ecuație, avem:
y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
Înlocuind această valoare în prima ecuație:
x = 27 + 36
x = 63
Alternativă: a) 63
6) Enem / PPL - 2015
Cortul de fotografiere a unui parc de distracții va acorda participantului un premiu de R $ 20, de fiecare dată când atinge ținta. Pe de altă parte, de fiecare dată când ratează ținta, trebuie să plătească 10,00 USD. Nu există nicio taxă inițială pentru a juca jocul. Un participant a tras 80 de focuri și, în cele din urmă, a primit R $ 100,00. De câte ori a atins acest participant ținta?
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64
Unde x este numărul de fotografii care au lovit ținta și y este numărul de fotografii greșite, avem următorul sistem:
Putem rezolva acest sistem prin metoda adunării, vom înmulți toți termenii celei de-a doua ecuații cu 10 și vom adăuga cele două ecuații:
Prin urmare, participantul a atins ținta de 30 de ori.
Alternativă: a) 30
7) Enem - 2000
O companie de asigurări a colectat date cu privire la mașinile dintr-un anumit oraș și a constatat că în fiecare an sunt furate în medie 150 de mașini. Numărul de mașini furate marca X este dublu față de numărul de mașini furate marca Y, iar mărcile X și Y reprezintă împreună aproximativ 60% din mașinile furate. Numărul așteptat de mașini furate marca Y este:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
Problema indică faptul că numărul de mașini furate ale mărcilor x și y împreună este echivalent cu 60% din total, deci:
150.0,6 = 90
Având în vedere această valoare, putem scrie următorul sistem:
Înlocuind valoarea lui x în a doua ecuație, avem:
2y + y = 90
3y = 90
Alternativă: b) 30
Vezi și: Exerciții privind ecuația de gradul 1 cu un necunoscut