Sisteme de ecuație de gradul 1: exerciții comentate și rezolvate

Sistemele de ecuații de gradul 1 sunt constituite dintr-un set de ecuații care prezintă mai multe necunoscute.

Rezolvarea unui sistem înseamnă găsirea valorilor care satisfac simultan toate aceste ecuații.

Multe probleme sunt rezolvate prin sisteme de ecuații. Prin urmare, este important să cunoașteți metodele de rezolvare pentru acest tip de calcul.

Profitați de exercițiile rezolvate pentru a vă rezolva toate îndoielile cu privire la acest subiect.

Probleme comentate și rezolvate

1) Ucenici marinari - 2017

Suma unui număr x și de două ori un număr y este - 7; iar diferența dintre triplul acelui număr x și numărul y este egală cu 7. Prin urmare, este corect să se afirme că produsul xy este egal cu:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Vezi Răspuns

Să începem prin construirea ecuațiilor luând în considerare situația propusă în problemă. Astfel, avem:

x + 2.y = - 7 și 3.x - y = 7

Valorile lui x și y trebuie să satisfacă ambele ecuații în același timp. Prin urmare, formează următorul sistem de ecuații:

tastele deschise atribute tabel aliniere coloană rând stânga atribute rând cu celulă cu x plus 2 y este egal cu minus 7 capătul rândului de celule cu celula cu 3 x minus y este egal cu 7 capătul celulei capătului tabelului se închide

Putem rezolva acest sistem prin metoda adaosului. Pentru a face acest lucru, să înmulțim a doua ecuație cu 2:

instagram story viewer

chei deschise tabel atribute alinierea coloanei capătul stâng al atributului rând cu celulă cu x plus 2 y este egal cu minus 7 sfârșitul rândului de celulă cu celulă cu 6 x minus 2 y este egal cu 14 spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu paranteză stângă m u l t i p l i ca m s spațiu e s s un spațiu e spațiul spațiu p r spațiu 2 paranteză dreaptă sfârșitul celulei sfârșitul tabelei se închide

Adăugarea celor două ecuații:

$numeratorul plus deschide tastele tabelului atribute alinierea coloanei capătul stâng al rândului atributelor cu celulă cu x plus diagonală în sus diagonală peste 2 y sfârșitul extragerii este egal cu minus 7 capătul rândului de celule cu celula cu 6 x minus diagonală ridicată peste 2 y capăt de extragere egal cu 14 capăt de celulă capătul mesei se închide peste numitor 7 x egal cu 7 capăt de fracțiune$

Înlocuind valoarea lui x găsită în prima ecuație, avem:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
$y este egal cu numărătorul minus 8 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu minus 4$

Astfel, produsul xy va fi egal cu:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternativă: d) - 4

2) Colegiul Militar / RJ - 2014

Un tren călătorește dintr-un oraș în altul întotdeauna cu o viteză constantă. Când călătoria se face cu 16 km / h mai multă viteză, timpul petrecut scade cu două ore și jumătate, iar când se face cu 5 km / h mai puțin viteza, timpul petrecut crește cu o oră. Care este distanța dintre aceste orașe?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Vezi Răspuns

Deoarece viteza este constantă, putem folosi următoarea formulă:

Apoi, distanța se găsește făcând:

d = v.t

Pentru prima situație avem:

v₁ = v + 16 și t₁ = t - 2,5

Înlocuind aceste valori în formula distanței:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40

Putem înlocui v.t cu d în ecuație și simplifica:

riscul în diagonală în sus d este egal cu riscul în diagonală în sus d minus 2 virgulă 5 v plus 16 t minus 40
-2,5v + 16t = 40

Pentru situația în care viteza scade:

v₂= v - 5 și t₂ = t + 1

Efectuând aceeași înlocuire:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Cu aceste două ecuații, putem asambla următorul sistem:

chei deschise atribute tabel aliniere coloană stânga capăt atribut rând cu celulă cu minus 2 virgule 5 v plus 16 t este egal cu 40 de capătul rândului de celule cu celula cu v minus 5 t este egal cu 5 capătul de celulă al tabelului se închide

Rezolvând sistemul prin metoda de substituție, să izolăm v în a doua ecuație:

v = 5 + 5t

Înlocuind această valoare în prima ecuație:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5
$t egală cu numărătorul 52 virgulă 5 peste numitorul 3 virgulă 5 sfârșitul fracției egal cu 15 ore$

Să înlocuim această valoare pentru a găsi viteza:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Pentru a găsi distanța, pur și simplu înmulțiți valorile de viteză și timp găsite. Prin urmare:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternativă: a) 1200 km

3) Ucenici de marinar - 2016

Un student a plătit o gustare de 8 reali în 50 de cenți și 1 real. Știind că, pentru această plată, studentul a folosit 12 monede, determină, respectiv, sumele de 50 de cenți și o monedă reală care au fost folosite pentru a plăti gustarea și a bifa opțiunea corectă.

a) 5 și 7
b) 4 și 8
c) 6 și 6
d) 7 și 5
e) 8 și 4

Vezi Răspuns

Având în vedere x numărul de monede de 50 de cenți, y numărul de monede de 1 dolar și suma plătită egală cu 8 reali, putem scrie următoarea ecuație:

0,5x + 1y = 8

Știm, de asemenea, că 12 monede au fost utilizate în plată, deci:

x + y = 12

Asamblarea și rezolvarea sistemului prin adăugare:

tastele deschise atribute tabel aliniere coloană atribut sfârșit stânga rând cu celulă cu x plus y egală cu 12 capătul rândului de celulă cu celulă cu minus 0 virgulă 5 x minus y este egal cu minus 8 spațiu spațiu spațiu paranteză stângă m u l ti p l i c a n d spațiu pentru spațiu r minus 1 paranteză dreaptă sfârșitul celulei sfârșitul tabelei închidere

$numeratorul plus deschide tastele tabelului atribute alinierea coloanei atributele la sfârșitul stânga rândul cu celula cu x plus diagonală în sus y risc egal cu 12 capătul rândului de celule cu celulă cu 0 virgulă 5 x minus diagonală în sus y risc egal cu minus 8 capătul celulei tabelul se închide pe numitor 0 virgulă 5 x egal cu 4 capătul fracției x egal cu numărătorul 4 peste numitorul 0 virgulă 5 capătul fracției x egal cu 8$

Înlocuind valoarea găsită a lui x în prima ecuație:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativă: e) 8 și 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Dintr-o cutie care conține B bile albe și P bile negre, au fost scoase 15 bile albe, rămânând între bilele rămase raportul de 1 alb la 2 negru. Apoi, 10 negri au fost îndepărtați, lăsând, în cutie, un număr de bile în raport de 4 albi la 3 negri. Un sistem de ecuații pentru determinarea valorilor lui B și P poate fi reprezentat prin:

spațiul paranteză dreaptă deschide tastele atributelor tabelului alinierea coloanei capătul stâng al atributelor rândul cu celula cu 2 B minus P este egal cu 30 sfârșitul rândului de celule cu celula cu 3 B minus 4 P este egal cu 5 sfârșitul celulei sfârșitul tabelei închide b paranteză dreapta spațiu taste deschise atribute tabel aliniere coloană capăt stânga atribute rând cu celulă cu B plus P este egal cu 30 sfârșitul rândului de celulă cu celulă cu B minus P este egal cu 5 sfârșitul celulei sfârșitul tabelei închide c paranteză dreaptă taste deschise atribute tabel aliniere coloană capăt stâng dos atributele rând cu celulă cu 2 B plus P este egal cu minus 30 sfârșitul celulei rând cu celulă cu minus 3 B minus 4 P este egal cu minus 5 sfârșitul celulei sfârșitul tabelei închide d paranteză dreaptă deschisă chei tabel atribute aliniere coloană capăt stânga atribute rând cu celulă cu 2 B plus P egal cu 30 sfârșitul rândului de celule cu celulă cu 3 B minus 4 P egal cu 5 capăt de capăt de celulă a mesei se închide

Vezi Răspuns

Având în vedere prima situație indicată în problemă, avem următoarea proporție:

$numărătorul B minus 15 peste numitorul P capătul fracției egal cu 1 jumătate spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu$

Înmulțind această proporție „într-o cruce”, avem:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Să facem același lucru pentru următoarea situație:

$numărătorul B minus 15 peste numitorul P minus 10 sfârșitul fracției egal cu 4 peste 3$

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Punând împreună aceste ecuații într-un sistem, găsim răspunsul la problemă.

Alternativă: a) chei deschise atribute tabel aliniere coloană rând stânga atribute rând cu celula cu 2 B minus P este egal cu 30 de capătul rândului de celule cu celula cu 3 B minus 4 P este egal cu 5 capătul de capăt al celulei tabelului se închide

5) Faetec - 2012

Carlos a rezolvat, într-un weekend, 36 de exerciții de matematică mai mult decât Nilton. Știind că numărul total de exerciții rezolvate de ambele a fost de 90, numărul de exerciții rezolvate de Carlos este egal cu:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Vezi Răspuns

Considerând x ca număr de exerciții rezolvate de Carlos și y ca număr de exerciții rezolvate de Nilton, putem configura următorul sistem:

chei deschise atribute tabel aliniere coloană rând stânga atribute rând cu celulă cu x egal cu y plus 36 capătul rândului de celule cu celula cu x plus y egal cu 90 de capătul celulei capătului tabelului se închide

Înlocuind x cu y + 36 în a doua ecuație, avem:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
y este egal cu 54 peste 2 y este egal cu 27

Înlocuind această valoare în prima ecuație:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativă: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Cortul de fotografiere a unui parc de distracții va acorda participantului un premiu de R $ 20, de fiecare dată când atinge ținta. Pe de altă parte, de fiecare dată când ratează ținta, trebuie să plătească 10,00 USD. Nu există nicio taxă inițială pentru a juca jocul. Un participant a tras 80 de focuri și, în cele din urmă, a primit R $ 100,00. De câte ori a atins acest participant ținta?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Vezi Răspuns

Unde x este numărul de fotografii care au lovit ținta și y este numărul de fotografii greșite, avem următorul sistem:

tastele deschise atribute tabel aliniere coloană rând stânga atribute rând cu celula cu 20x minus 10 y este egal cu 100 de capătul rândului de celule cu celula cu x plus y este egal cu 80 de capătul celulei din tabel se închide

Putem rezolva acest sistem prin metoda adunării, vom înmulți toți termenii celei de-a doua ecuații cu 10 și vom adăuga cele două ecuații:

$mai multe numeratoare deschid tastele atribute tabel aliniere coloană capăt stânga rânduri atribute cu celulă cu 20 x minus diagonală extragere crește peste 10 y sfârșit de striout egal cu 100 de capăt de rând de celulă la celulă cu 10 x plus diagonală striout peste 10 y sfârșit de tăiat egal cu 800 sfârșitul celulei capătul tabelei se închide pe numitor 30 x spațiu egal cu 900 sfârșitul fracției x egal cu 900 peste 30 x egal la 30 de ani$

Prin urmare, participantul a atins ținta de 30 de ori.

Alternativă: a) 30

7) Enem - 2000

O companie de asigurări a colectat date cu privire la mașinile dintr-un anumit oraș și a constatat că în fiecare an sunt furate în medie 150 de mașini. Numărul de mașini furate marca X este dublu față de numărul de mașini furate marca Y, iar mărcile X și Y reprezintă împreună aproximativ 60% din mașinile furate. Numărul așteptat de mașini furate marca Y este:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Vezi Răspuns

Problema indică faptul că numărul de mașini furate ale mărcilor x și y împreună este echivalent cu 60% din total, deci:

150.0,6 = 90

Având în vedere această valoare, putem scrie următorul sistem: