Zona prismei: cum se calculează, exemple, exerciții

Prisme sunt figuri tridimensionale formate din două baze congruente și paralele, bazele, la rândul lor, sunt formate din poligoane convexe. Celelalte fețe denumite fețe laterale sunt formate din paralelogramele. Pentru a determina aria unei prisme, este necesar să o efectuați planificare și apoi calculați aria figurii plate.

Citește și: Diferențele dintre figurile plane și spațiale

Planificarea unei prisme

Ideea planificării este de a transforma o figură tridimensională într-o figura bidimensională. În practică ar fi echivalentul tăierii peste marginile prismei. Mai jos este un exemplu de planificare a unei prisme triunghiulare.

Același proces poate fi adoptat pentru fiecare prismătotuși, rețineți că pe măsură ce creștem numărul laturilor poligoanelor de bază, sarcina devine din ce în ce mai dificilă. Din acest motiv, vom face generalizări pe baza planificării acestuia poligon.

Calculul zonei laterale

Observând imaginea prismei triunghiulare, avem că paralelogramele ABFC, ABFD și ACDE sunt fețele laterale.

Rețineți că fețele laterale ale unei prisme vor fi întotdeauna paralelograme indiferent de numărul laturilor poligoanelor de bază, acest lucru se întâmplă deoarece acestea sunt paralele și congruente.

Privind figura prismei triunghiulare, vedem, de asemenea, că avem trei fețe laterale. Acest lucru se datorează numărului de laturi ale poligonului de bază, adică dacă bazele prismei sunt un patrulater, vom avea patru fețe laterale, dacă bazele sunt un pentagon, vom avea cinci fețe laterale și așa mai departe. Prin urmare: numărul laturilor poligonului de bază afectează numărul fețelor laterale ale prismei.

De aceea zona laterală (A_L) a oricărei prisme este dată de aria unei fețe laterale înmulțită cu numărul fețelor laterale, adică este aria paralelogramului înmulțită cu numărul de laturi ale feței.

THE_L = (bază · înălțime) · numărul de laturi ale feței

• Exemplu

Calculați aria laterală a unei prisme hexagonale regulate cu o margine de bază egală cu 3 cm și o înălțime egală cu 11 cm.

Prisma în cauză este reprezentată de:

Aria laterală este apoi calculată de aria dreptunghiului de ori numărul de laturi ale poligonului de bază, care este 6, deci:

THE_L = (bază · înălțime) · numărul de laturi ale feței

THE_L = (3 · 11) · 6

THE_L = 198 cm²

Calculul suprafeței de bază

Prismele pot avea forme diferite.

THE zona de bază (THE_B) a unei prisme depinde de poligonul care o compune. Ca și într-o prismă avem două fețe paralele și congruente, aria de bază este dată de suma ariilor poligoanelor paralele, adică de două ori aria poligonului.

THE_B = 2 · zona poligonului

Citește și:Zonele cu figuri plate

• Exemplu

Calculați aria de bază a unei prisme hexagonale regulate cu marginea bazei egală cu 3 cm și înălțimea egală cu 11 cm.

Baza acestei prisme este un hexagon regulat, iar acesta, văzut de sus, arată ca:

Rețineți că triunghiuri formate în interiorul hexagonului sunt echilaterale, deci aria hexagonului este dată de șase ori aria triunghiului echilateral.

Cu toate acestea, observați că, în prismă, avem două hexagoane, deci aria de bază este de două ori suprafața poligonului.

Calculul suprafeței totale

THE suprafața totală (A_T) unei prisme este dată de suma ariei laterale (THE_L) cu zona de bază (THE_B).

THE_T = A_L + A_B

• Exemplu

Calculați aria totală a unei prisme hexagonale regulate cu marginea bazei egală cu 3 cm și înălțimea egală cu 11 cm.

Din exemplele anterioare, avem acel A_L = 198 cm² si_B = 27√3 cm². Prin urmare, suprafața totală este dată de:

exerciții rezolvate

intrebarea 1 - O magazie are forma unei prisme care se bazează pe un trapez, așa cum se arată în figură.

Vrei să pictezi acest șopron și se știe că prețul vopselei este de 20 de reali pe metru pătrat. Cât va costa să pictezi acest șopron? (Dat: √2 = 1.4)

Soluţie

Inițial, să determinăm zona magaziei. Baza sa este un trapez, deci:

Prin urmare, zona de bază este:

THE_B = 2 · A_trapez

THE_B = 2 ·10

THE_B = 20 m²

Zona laterală în roșu este un dreptunghi și avem partea de jos, deci această zonă este:

THE_V = 2 · 4· 14

THE_V= 112 m²

Zona în albastru este, de asemenea, un dreptunghi, dar nu avem baza ei. Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul format de trapez, avem:

X² = 2² + 2²

X² = 8

x = 2√2

Deci aria dreptunghiului în albastru este:

THE_THE = 2 ·14·2√2

THE_THE = 54√2 m²

Prin urmare, aria laterală a prismei este egală cu:

THE_L = 112 + 54√2

THE_L = 112 + 75,6

THE_L = 187,6 m²

Așadar, suprafața totală a acestei prisme este:

THE_T= 20 + 187,6

THE_T= 207,6 m²

Deoarece prețul vopselei este de 20 de reali pe metru pătrat, suma cheltuită pentru vopsirea magaziei este:

20 · 207,6 = 4.152 reali

Răspuns: Suma cheltuită pentru vopsirea magaziei este de R $ 4.152,00

de Robson Luiz
Profesor de matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm