Știm cum repetați aranjamentul sau aranjamentul complet, toate regrupările ordonate cu care ne putem forma k elemente ale unui set cu Nu elemente, cu un element de Nu poate apărea de mai multe ori. THE analiza combinatorie zona matematicii dezvoltă tehnici de numărare pentru a găsi numărul de clustere posibile în anumite situații.
Printre aceste grupări, există aranjamentul cu repetarea, prezent, de exemplu, în crearea parolelor, plăcuțelor de înmatriculare, intre altii. Pentru a rezolva aceste situații, aplicăm formula de aranjare cu repetiție ca tehnică de numărare. Există diferite formule pentru calcularea aranjamentului care se repetă și a aranjamentului care nu se repetă, deci este important să știm cum să diferențiem fiecare dintre aceste situații pentru a aplica tehnica corectă de numărare.
Citește și: Principiul fundamental al numărării - conceptul principal al analizei combinatorii
Ce este aranjamentul cu repetarea?
![Există un aranjament cu repetare în producerea plăcilor vehiculului. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
În viața noastră de zi cu zi, întâlnim situații care implică secvențe și grupări, care apar în alegeți parole din rețelele sociale sau din bancă și, de asemenea, în numerele de telefon sau situațiile care implică cozi. Oricum, suntem înconjurați de situații care implică aceste grupări.
De exemplu, pe plăcuțele de înmatriculare, care sunt alcătuite din trei litere și patru numere, există un șir unic de stat care identifică fiecare dintre mașini, în acest caz cu care lucrăm aranjamente. Când este posibil să repetăm elementele, lucrăm cu aranjamentul complet sau cu repetiția.
Având un set cu Nu elemente, le cunoaștem ca aranjament cu repetare toate grupările cu care ne putem forma k elemente ale acestui lucru a stabilit, unde un element poate fi repetat de mai multe ori. De exemplu, pe plăcuțele de înmatriculare ale vehiculelor, este numărul de plăcuțe de înmatriculare posibile pe care le putem forma, luând ținând cont că au trei litere și patru numere și că literele și numerele pot fi repetate.
Pentru a calcula numărul posibilelor aranjamente repetate, folosim o formulă foarte simplă.
Formula de aranjament cu repetare
Pentru a găsi suma completă a aranjamentului Nu elemente distincte preluate din k în
Oh, într-o situație dată care permite repetarea unui element, folosim următoarea formulă:
AERNu,k = Nuk
AR → aranjament cu repetare
Nu → numărul de elemente din set
k → numărul de elemente care vor fi alese
Vezi și: Combinație simplă - numărați toate subseturile unui set dat
Cum se calculează numărul de aranjament care se repetă
Pentru a înțelege mai bine cum se aplică formula de aranjare repetată, consultați exemplul de mai jos.
Exemplul 1:
O parolă bancară are cinci cifre formate exclusiv din numere, care este numărul de parole posibile?
Știm că parola este un șir de cinci cifre și că nu există nicio restricție asupra repetărilor, așa că vom aplica formula de aranjare cu repetarea. Utilizatorul trebuie să aleagă, dintre 10 cifre, care va compune fiecare dintre cele cinci cifre ale acestei parole, adică vrem să calculăm aranjamentul cu repetarea a 10 elemente luate la fiecare cinci.
AER10,5 = 105 = 10.000
Deci, există 10.000 de posibilități de parolă.
Exemplul 2:
Știind că plăcuțele de înmatriculare ale vehiculului sunt formate din trei litere și patru numere, câte plăci de înmatriculare este posibil să se formeze?
Alfabetul nostru este format din 26 de litere și există 10 numere posibile, așa că haideți să ne împărțim în două tablouri complete și să găsim numărul de tablouri posibile pentru litere și cifre.
AER26,3 = 26³ = 17.576
AER10,4 = 104 = 10.000
Astfel, totalul aranjamentelor posibile este:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Diferența dintre aranjamentul simplu și aranjarea repetată
Diferențierea aranjamentului simplu de aranjamentul prin repetare este esențială pentru rezolvarea problemelor pe subiect. Important pentru diferențiere este să ne dăm seama că, atunci când avem de-a face cu o situație în care există regrupări a căror ordine este importantă, este vorba despre unui aranjament, iar dacă aceste regrupări permit repetarea între termeni, este un aranjament cu repetiție, cunoscut și sub denumirea de aranjament complet. Când regruparea nu permite repetarea, este despre un aranjament simplu.
Formula pentru aranjamentul simplu este diferită de cea pe care o folosim pentru aranjarea repetată.
Am văzut mai devreme exemple de aranjare repetată, acum vedem un exemplu de aranjament simplu
Exemplu:
Paulo vrea să pună pe raft trei dintre cele 10 cărți ale sale școlare, toate diferite una de cealaltă, în câte moduri poate organiza aceste cărți?
Rețineți că, în acest caz, ordinea este importantă, dar nu există repetări, deoarece este un aranjament simplu. Pentru a găsi numărul de grupări posibile, trebuie să:
Pentru a afla mai multe despre această altă formă de grupare utilizată în analiza combinatorie, citiți textul: THEaranjament simplu.
Exerciții rezolvate:
Intrebarea 1 - (Enem) O bancă le-a cerut clienților să creeze o parolă personală din șase cifre, constând doar din numere de la 0 la 9, pentru a accesa contul de verificare prin internet. Cu toate acestea, un specialist în sisteme de securitate electronică a recomandat conducerii băncii să-și reînregistreze utilizatorii, solicitând acest lucru fiecare dintre ele, crearea unei parole noi cu șase cifre, permițând acum utilizarea celor 26 de litere ale alfabetului, pe lângă cifrele de la 0 la 9. În acest nou sistem, fiecare literă majusculă a fost considerată distinctă de versiunea sa cu litere mici. În plus, utilizarea altor tipuri de personaje a fost interzisă.
O modalitate de a evalua o modificare a sistemului de parole este de a verifica coeficientul de îmbunătățire, care este motivul pentru noul număr de posibilități de parolă în raport cu cel vechi. Coeficientul de îmbunătățire a modificării recomandate este:
Rezoluţie
Alternativa A
Vechea parolă este o matrice cu repetare, deoarece poate fi alcătuită din toate numerele, deci este o matrice de 10 elemente luate la fiecare șase.
AER10,6 = 106
Noua parolă poate consta din 10 cifre și, de asemenea, litere mari (26 litere) și minuscule (26 litere), deci parola are, pentru fiecare cifră, un total de 10 + 26 + 26 = 62 posibilități. Deoarece există șase cifre, vom calcula aranjamentul cu repetarea a 62 de elemente luate la fiecare șase.
AER62,6 = 626
THE motiv din noul număr de posibilități de parolă comparativ cu cea veche este egal cu 626/106.
Intrebarea 2 - (Enem 2017) O companie își va construi site-ul și speră să atragă un public de aproximativ un milion de clienți. Pentru a accesa această pagină, veți avea nevoie de o parolă cu un format care urmează să fie definit de companie. Există cinci opțiuni de format oferite de programator, descrise în tabel, unde „L” și „D” reprezintă, respectiv, majusculă și cifră.
Literele alfabetului, dintre cele 26 posibile, precum și cifrele, dintre cele 10 posibile, pot fi repetate în oricare dintre opțiuni.
Compania dorește să aleagă o opțiune de format al cărei număr de parole distincte posibile este mai mare decât numărul așteptat de clienți, dar acest număr nu depășește de două ori numărul așteptat de Clienți.
Rezoluţie
Alternativa E
Calculând fiecare dintre posibilități, dorim să găsim parola care are mai mult de un milion de posibilități și mai puțin de două milioane de posibilități.
I → LDDDDD
26 ·105 este mai mare de două milioane, deci nu satisface cererea companiei.
II → DDDDDD
106 este egal cu un milion, deci nu satisface cererea companiei.
III → LLDDDD
26² · 104 este mai mare de două milioane, deci nu satisface cererea companiei.
IV → DDDDD
105 este mai puțin de un milion, deci nu satisface cererea companiei.
V → LLLDD
26³ · 10² este între un milion și două milioane, deci acest șablon de parolă este ideal.
Credit de imagine
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm
