O diagram Venna, znany również jako diagram Venna-Eulera, jest sposób na wykreślenie zbioru, używamy do tego linii zamkniętej, która nie ma samoprzecięcia i reprezentujemy elementy zbioru wewnątrz tej linii. Ideą diagramu jest ułatwienie zrozumienia w podstawowe operacje na zbiorach, takich jak: włączenie i relacja przynależności, zjednoczenie i przecięcie, różnica i zbiór uzupełniający.
Przeczytaj też: Działania na liczbach całkowitych: poznaj właściwości
Reprezentacje diagramu Venna
Jak pokazano, diagram Venna składa się z zamkniętej (nieprzeplatającej się) linii, na której „umieszczamy” elementy danego zbioru, dzięki czemu możemy reprezentują jeden lub kilka zestawów równocześnie. Zobacz przykłady:
• Pojedynczy zestaw
Możemy Cię reprezentować za pomocą pojedyncza zamknięta linia, na przykład, reprezentujmy zbiór A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Między dwoma zestawami
Musimy zrobić dwa wykresy, takie jak ten do reprezentacji pojedynczego zbioru. Jednak z operacji na zbiorach wiemy, że: dane dwa zbiory mogą się przecinać lub nie. Jeśli te dwa zestawy się nie przecinają, są nazwane zbiory rozłączne.
Przykład 1
Wykreśl, korzystając z diagramu Venna, zbiory A = {a, b, c, d, e, f} i B = {d, e f, g, h, i}.
Zauważ, że przecięcie jest częścią diagramu, która należy do tych dwóch zbiorów, tak jak w definicji.
A ∩ B = {d, e, f}
Przykład 2
Wykreśl zbiory C = {a, b, c, d} i D = {e, f, g, h}.
Zauważ, że część wspólna tych zbiorów jest pusta, ponieważ nie posiada żadnego elementu, który należy jednocześnie do obu, to znaczy:
C ∩ D = { }
• Między trzema zestawami
Idea reprezentacji za pomocą diagramu Venna dla trzech zestawów jest podobna do reprezentacji między dwoma zestawami. W tym sensie zbiory mogą być rozłączne jeden po drugim, to znaczy nie mają żadnego przecięcia; lub mogą być rozłączne dwa na dwa, to znaczy tylko dwa z nich przecinają się; lub wszystkie się przecinają.
Przykład
Reprezentacja za pomocą diagramu Venna zbiorów A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} i C = {d, e, c, h}.
Zobacz też: Ważne zestawienia notacji
związek członkowski
Relacja przynależności pozwala nam powiedzieć, czy element należy do pewnego zbioru, czy nie. W tym celu używamy symboli:
Rozważmy zbiór A = {a, b, c, d}. Analizując to, zdajemy sobie sprawę, że sol, na przykład nie należy do niego, więc na diagramie Venna mamy:
Relacja włączenia
Relacja inkluzji pozwala nam powiedzieć czy zestaw jest zawarty w innym zestawie?. Kiedy zbiór jest zawarty w innym, mówimy, że jest to podzbiór. W tym celu używamy symboli:
Przykładem tego jest związek między zbiorem liczby naturalne i zestaw wszystkie liczby. Wiemy, że zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, czyli zbiór liczb naturalnych jest zawarty w zbiorze liczb całkowitych.
Operacje między seriami
Podstawowe operacje między dwoma lub więcej zestawami to: jedność, skrzyżowanie i różnica między dwoma zestawami.
• Unia
Związek między dwoma zestawami tworzy się przez połączenie elementów zawartych w każdym zestawie, innymi słowy: wszystkie elementy dwóch zestawów są brane pod uwagę. Popatrz:
Rozważmy zbiory A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 7}. Związek między nimi podaje:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Na diagramie Venna zacieniowaliśmy część łączącą, czyli oba zestawy, sprawdź:
• Skrzyżowanie
Przecięcie jest nowym zbiorem liczbowym utworzonym przez elementy należące jednocześnie do innych zbiorów. Ogólnie rzecz biorąc, punkt przecięcia między zbiorami na diagramie Venna jest określony przez część wspólną dla zaangażowanych grafów. Popatrz:
Rozpatrując ponownie zbiory A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 7}, mamy, że elementy należące do zbioru A i do zbioru B są jednocześnie :
A B = {3,4}
• Różnica między dwoma zestawami
Rozważmy dwa zbiory C i D, różnica między nimi (C – D) będzie nowym zbiorem utworzonym przez elementy należące do C i nienależące do D. Ogólnie rzecz biorąc, możemy przedstawić tę różnicę za pomocą diagramu Venna w następujący sposób:
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (Ufal) Na poniższym rysunku przedstawiono nierozłączne zbiory A, B i C. Kolorowy region reprezentuje zestaw:
a) C – (A ∩ B)
b) (A ∩ B) – C
c) (A U B) - C
d) AUBU C
e) A ∩ B ∩ C
Rozwiązanie
Alternatywa b.
Pamiętając operacje na zbiorach wiemy, że przecięcie dwóch zbiorów na diagramie Venna jest określone przez wspólną dla nich część. Rozpatrując zbiory A, B i C oraz pokolorując przecięcie zbioru A ∩ B mamy:
Tytuł: Rozwiązanie pytanie 1 - część 1
Zwróć uwagę, że jeśli usuniemy elementy ze zbioru C, otrzymamy kolorową część wymaganą w ćwiczeniu, czyli najpierw musimy podświetlić przecięcie, a następnie usunąć elementy ze zbioru C.
(A ∩ B) – C
pytanie 2 – (Uerj) Dzieci w szkole uczestniczyły w kampanii szczepień przeciwko paraliżowi dziecięcemu i odrze. Po kampanii okazało się, że 80% dzieci otrzymało szczepionkę paraliżową, 90% otrzymało szczepionkę przeciwko odrze, a 5% nie otrzymało żadnej.
Określ procent dzieci w tej szkole, które otrzymały obie szczepionki.
Rozwiązanie
Ponieważ odsetek dzieci, które otrzymały obie szczepionki, jest nieznany, nazwijmy to początkowo x. Pamiętaj, że nie możemy operować symbolem %, ale zapisać procenty ćwiczeń w formie dziesiętnej lub ułamkowej.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Aby poznać całkowitą liczbę dzieci, które przyjęły tylko szczepionkę paraliżową, odjęliśmy zweryfikowany odsetek (80%) odsetka osób, które przyjęły oba (x), i to samo należy zrobić w przypadku dzieci, które przyjęły tylko szczepionkę przeciwko against odra. A zatem:
Łącząc wszystkie dzieci, procent wyniesie 100%, a więc:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
– x = 1 – 1,75
(–1) · – x = – 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Dlatego 75% dzieci w szkole miało obie szczepionki.
Autor: L.do Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
