zrozumienie zestawy jest główną podstawą do badania algebra oraz pojęcia o dużym znaczeniu w matematyce, takie jak Funkcje i nierówności. Notacja, której używamy dla zestawów, jest zawsze wielką literą z naszego alfabetu (np. zestaw A lub zestaw B).
Pod względem reprezentacja zbiorów, można to zrobić przez schemat Venna, po prostu opisując cechy jego elementów, wyliczając elementy lub opisując ich właściwości. Podczas pracy z problemami, które dotyczą zestawów, zdarzają się sytuacje, które wymagają wykonania operacje między zestawami, będąca unią, przecięciem i różnicą. Czy przestudiujemy to wszystko szczegółowo?
Zobacz też: Wyrażenia numeryczne – naucz się je rozwiązywać!
Notacja i reprezentacja zbiorów
Do reprezentacji zbioru zawsze używamy a wielka litera alfabetu, a elementy są zawsze pomiędzy Klucze i są oddzielone przecinkiem. Aby przedstawić zbiór liczb parzystych większych niż 1 i mniejszych niż 20, używamy na przykład następującej notacji: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formy reprezentacji zbiorów
reprezentacja przez wyliczenie: możemy wyliczyć jego elementy, czyli zrobić listę, zawsze między nawiasami klamrowymi. Zobacz przykład:
A = {1,5,9,12,14,20}
opisujący cechy: możemy po prostu opisać charakterystykę zestawu. Na przykład, niech X będzie zbiorem, mamy, że X = {x jest dodatnią wielokrotnością 5}; Y: to zestaw miesięcy w roku.
Schemat Venna: zbiory mogą być również reprezentowane w postaci diagramu, znanego jako a schemat Venna, który jest bardziej wydajną reprezentacją wykonywania operacji.
Przykład:
Mając zbiór A = {1,2,3,4,5}, możemy go przedstawić na poniższym diagramie Venna:
Elementy zbioru i relacji członkostwa
Mając dowolny element, możemy powiedzieć, że element należy do zestawu lub nie należy do tego zestawu. Aby szybciej reprezentować tę relację członkostwa, używamy symboli
(czytaj jako należące) i ∉ (czytaj jako nienależące). Na przykład niech P będzie zbiorem numery par, możemy powiedzieć, że 7 ∉ P i że 12 str.
Równość zbiorów
Porównanie między zbiorami jest nieuniknione, więc możemy powiedzieć, że dwa zbiory są równe lub nie, sprawdzając każdy z jego elementów. Niech A = { 0,1,3,4,8} i B = { 8,4,3,1,0}, nawet jeśli elementy są w innej kolejności, możemy powiedzieć, że zbiory A i B są równe: A = B.
Relacja włączenia
Porównując dwa zestawy, możemy natknąć się na kilka relacji, a jedną z nich jest relacja włączenia. Do tego związku musimy znać kilka symboli:
⊃ → zawiera ⊂→ jest zawarty
⊅ → nie zawiera ⊄→nie jest zawarty
Wskazówka: otwierająca strona symbolu zawsze będzie zwrócona w stronę większego zestawu. |
Gdy wszystkie elementy zbioru A również należą do zbioru B, mówimy, że A ⊂ B lub że A jest zawarte w B. Na przykład A={1,2,3} i B={1,2,3,4,5,6}. Możliwe jest również wykonanie reprezentacji przez: schemat Venna, wyglądałoby to tak:
A jest zawarte w B:
A ⊂ B
Podzbiory
Kiedy relacja włączenia, czyli zbiór A jest zawarty w zbiorze B, możemy powiedzieć, że A jest podzbiorem B. Podzbiór pozostaje zbiorem, a zestaw może mieć wiele podzbiorów, zbudowany z elementów do niego należących.
Na przykład: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} ma jako podzbiory zbiory B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} a nawet zbiór A {1,2,3,4,5,6,7,8}, czyli A jest podzbiorem samego siebie.
zestaw jednostkowy
Jak sama nazwa wskazuje, to właśnie ten zestaw ma tylko jeden element, jak pokazany wcześniej zestaw D:{1}. Mając zbiór B: {1,2,3}, mamy podzbiory {1}, {2} i {3}, które są zbiorami jednostek.
UWAGA: Zbiór E: {0} jest również zbiorem unitarnym, ponieważ ma pojedynczy element „0” i nie jest zbiorem pustym.
Przeczytaj też: Zbiór liczb całkowitych - elementy i cechy
pusty zestaw
Z jeszcze bardziej sugestywną nazwą, pusty zbiór nie zawiera elementów i jest podzbiorem dowolnego zbioru. Aby przedstawić zbiór pusty, istnieją dwie możliwe reprezentacje, są to V: { } lub symbol Ø.
Zestawy części
Jako zbiory części znamy wszystkie możliwe podzbiory danego zbioru. Niech A: {1,2,3,4}, możemy wymienić wszystkie podzbiory tego zbioru A zaczynając od zbiorów, które nie mają elementów (puste), a następnie te, które mają jeden, dwa, trzy i cztery elementy, odpowiednio.
pusty zestaw: { };
Zestawy jednostek: {1}; {2};{3}; {4}.
Zestawy z dwoma elementami: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
zestawy z trzema elementami: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Zestaw z czterema elementami: {1,2,3,4}.
Dlatego zbiór części A możemy opisać w ten sposób:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Aby dowiedzieć się, na ile części można podzielić zestaw, posługujemy się wzorem:
n[P(A)] = 2Nie
Liczba części A jest obliczana przez a moc podstawa 2 podniesiona do Nie, na czym? Nie to liczba elementów w zestawie.
Rozważmy zbiór A: {1,2,3,4}, który ma cztery elementy. Suma możliwych podzbiorów tego zbioru to 24 =16.
Przeczytaj też: Jaki jest zbiór liczb niewymiernych?
Skończony i nieskończony zbiór
Podczas pracy z zestawami znajdujemy zestawy, które są ograniczony (skończony) i ci, którzy są nieograniczony (nieskończony). Zestaw liczby parzyste lub nieparzyste, na przykład jest nieskończony i aby go przedstawić, opisujemy kolejno niektóre jego elementy, aby można było przewidzieć, jakie będą kolejne elementy, a elipsy wstawiamy w Finał.
Ja: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
W zbiorze skończonym nie umieszczamy jednak elips na końcu, ponieważ ma on określony początek i koniec.
O: {1,2,3,4}.
zestaw wszechświata
O zestaw wszechświata, oznaczony przez U, jest zdefiniowany jako zbiór wszystkich elementów, które muszą być uwzględnione w zadaniu. Każdy element należy do zbioru wszechświatów i każdy zbiór jest zawarty w zbiorze wszechświatów.
Operacje na zestawach
Operacje na zbiorach to: suma, przecięcie i różnica.
Przecięcie zbiorów
Przecięcie występuje, gdy elementy należą jednocześnie do jednego lub więcej zbiorów. Pisząc A∩B szukamy elementów należących zarówno do zbioru A, jak i zbioru B.
Przykład:
Rozważmy A= {1,2,3,4,5,6} i B = {2,4,6,7,8}, elementy należące zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B to: A∩B = { 2 ,4,6}. Przedstawienie tej operacji odbywa się w następujący sposób:
A∩B
Gdy zestawy nie mają żadnych wspólnych elementów, są one znane jako zbiory rozłączne.
A∩B =
różnica między zestawami
Oblicz różnica między dwoma zestawami jest szukanie elementów należących tylko do jednego z dwóch zestawów. Na przykład A – B ma jako odpowiedź zbiór składający się z elementów należących do zbioru A i nie należących do zbioru B.
Przykład: A: {1,2,3,4,5,6} i B: {2,4,6,7,8}. Zauważ, że A ∩ B ={2,4,6}, więc mamy to:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Jedność
Połączenie dwóch lub więcej zbiorów to dołączanie do Twoich warunków. Jeśli są elementy, które powtarzają się w obu zestawach, są one zapisywane tylko raz. Na przykład: A={1,2,3,4,5} i B={4,5,6,7,10,14}. Do reprezentowania unii używamy symbolu (czytaj: Unia z B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Aby dowiedzieć się więcej o tych operacjach i zapoznać się z kilkoma rozwiązanymi ćwiczeniami, przeczytaj: Operacje na zestawach.
Prawa Morgana
Niech A i B będą dwoma zbiorami i niech U będzie zbiorem wszechświata, istnieją dwie własności, które dane są przez Prawa Morgana, a mianowicie:
(AUBB)do = Ado Bdo
(A ∩ B)do = Ado U Bdo
Przykład:
Biorąc pod uwagę zestawy:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
O: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5,10,15,20}
Sprawdźmy to (A U B)do = Ado Bdo. Musimy więc:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Dlatego (A U B)do={1,3,7,9,11,13,17,19}
Aby sprawdzić prawdziwość równości, przeanalizujmy operację Ado Bdo:
TENdo:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
bdo:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Następnie, TENdo Bdo ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(AUBB)do = Ado Bdo
rozwiązane ćwiczenia
01) Rozważ U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} i B: {4,5,6, 7,8,9}. Pokaż, że (A ∩ B)do = Ado U Bdo.
Rozkład:
Pierwszy krok: znajdź (A ∩ B)do. W tym celu mamy, że A B = {4,5,6}, więc (A ∩ B)do ={1,2,3,7,8,9,10}.
Drugi krok: Znajdźdo U Bdo. TENdo:{7,8,9,10} i Bdo:{1,2,3,10}, więc Ado U Bdo = {1,2,3,7,8,9,19}.
Wykazano, że (A ∩ B)do = Ado U Bdo.
02) Wiedząc, że A jest zbiorem liczb parzystych od 1 do 20, jaka jest całkowita liczba podzbiorów, które możemy zbudować z elementów tego zbioru?
Rozkład:
Niech P będzie zbiorem opisanym, mamy to P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Dlatego liczba elementów P wynosi 10.
Według teorii zbioru części liczba możliwych podzbiorów P wynosi:
210=1024
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki