Wiemy jak wielomian wyrażenie wskazujące sumę algebraiczną jednomianów, które nie są podobne, czyli wielomian is jeden wyrażenie algebraiczne między jednomianami. Monomium to termin algebraiczny, który ma współczynnik i część dosłowną.
Gdy między wielomianami występują podobne wyrazy, możliwe jest wykonanie skrócenie jego warunków dodawanie i/lub odejmowanie dwóch wielomianów. Możliwe jest również pomnożenie dwóch wielomianów przez własność rozdzielności. Podział odbywa się metodą kluczy.
Przeczytaj też: Równanie wielomianowe — równanie charakteryzujące się wielomianem równym 0
Czym są jednomiany?
Aby zrozumieć, czym jest wielomian, ważne jest, aby najpierw zrozumieć znaczenie jednomianu. Wyrażenie algebraiczne jest znane jako monomium, gdy ma cyfry i litery oraz ich wykładniki oddzielone tylko przez mnożenie. Liczba jest znana jako współczynnik, a litery i ich wykładniki znane są jako część dosłowna.
Przykłady:
2x² → 2 to współczynnik; x² to część dosłowna.
√5ax → √5 to współczynnik; topór jest dosłowną częścią.
b³yz² → 1 to współczynnik; błyz² to część dosłowna.
Co to jest wielomian?
Wielomian to nic innego jak suma algebraiczna jednomianów, to znaczy są bardziej jednomianami oddzielonymi od siebie przez dodawanie lub odejmowanie.
Przykłady:
topór² + o + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
Mówiąc ogólnie, wielomian może mieć kilka wyrazów, jest reprezentowany algebraicznie przez:
NiexNie +(n-1) x(n-1) + … +2x² + a1x + a
Zobacz też: Jakie są klasy wielomianów?
stopień wielomianu
Aby znaleźć stopień wielomianu, podzielmy go na dwa przypadki, kiedy ma jedną zmienną i kiedy ma więcej zmiennych. Stopień wielomianu jest podany przez stopień największego z jego jednomianów w obu przypadkach.
Często pracuje się z wielomianem, który ma tylko jedną zmienną. Kiedy to się dzieje, O większe monomium stopień co wskazuje stopień wielomianu jest równy największemu wykładnikowi zmiennej:
Przykłady:
Wielomiany jednej zmiennej
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → zauważ, że zmienna to x, a jej największy wykładnik to 3, więc jest to wielomian stopnia 3.
b) 2 lata5 + 4y² – 2y + 8 → zmienna to y, a największy wykładnik to 5, więc jest to wielomian stopnia 5.
Gdy wielomian ma więcej niż jedną zmienną w jednomianu, aby znaleźć stopień tego wyrazu, konieczne jest Dodaj-gdyby stopień wykładników każdej ze zmiennych. Tak więc stopień wielomianu w tym przypadku jest nadal równy stopniowi największego jednomianu, ale należy uważać, aby dodać wykładniki zmiennych każdego jednomianu.
Przykłady:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Analizując dosłowną część każdego terminu, musimy:
xy → stopień 2 (1 + 1)
x²y³ → stopień 5 (2 + 3)
y³ → stopień 3
Zauważ, że największy wyraz ma stopień 5, więc jest to wielomian stopnia 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analizując dosłowną część każdego monomium:
a²b → stopień 3 (2 + 1)
ab² → stopień 2 (1 + 1)
a²b² → stopień 4 (2 + 2)
Zatem wielomian ma stopień 4.
Dodawanie wielomianów
Do dodawanie między dwoma wielomianami, zróbmy redukcja podobnych jednomianów. Dwa jednomiany są podobne, jeśli mają równe części dosłowne. Kiedy tak się dzieje, możliwe jest uproszczenie wielomianu.
Przykład:
Niech P(x) = 2x² + 4x + 3 oraz Q(x) = 4x² – 2x + 4. Znajdź wartość P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Znajdowanie podobnych terminów (które mają te same części dosłowne):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Dodajmy teraz podobne jednomiany:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Odejmowanie wielomianów
Odejmowanie niewiele różni się od dodawania. Ważnym szczegółem jest to, że najpierw musimy napisać przeciwny wielomian zanim przeprowadzimy uproszczenie podobnych terminów.
Przykład:
Dane: P(x) = 2x² + 4x + 3 i Q(x) = 4x² - 2x + 4. Oblicz P(x) – Q(x).
Wielomian -Q(x) jest przeciwieństwem Q(x), aby znaleźć przeciwieństwo Q(x), wystarczy odwrócić znak każdego z jego wyrazów, więc musimy:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Następnie obliczymy:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Upraszczając podobne terminy, mamy:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Mnożenie wielomianu
Aby wykonać mnożenie dwóch wielomianów, używamy znanego własność dystrybucyjna między dwoma wielomianami, wykonując mnożenie jednomianów pierwszego wielomianu przez te drugiego wielomianu.
Przykład:
Niech P(x) = 2a² + b oraz Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Oblicz P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Stosując własność rozdzielności będziemy mieli:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Teraz, jeśli istnieją, możemy uprościć podobne terminy:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Zauważ, że jedyne podobne jednomiany są podświetlone na pomarańczowo, upraszczając między nimi, otrzymamy następujący wielomian jako odpowiedź:
2.5 + (6+1)ab + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Również dostęp: Jak zrobić algebraiczne mnożenie ułamków?
dzielenie wielomianowe
Wykonaj dzielenie wielomianów może być dość pracochłonne, używamy tego, co się nazywa metoda kluczy, ale można to zrobić na kilka sposobów. Podział dwóch wielomianów jest to możliwe tylko wtedy, gdy stopień dzielnika jest mniejszy. Dzieląc wielomian P(x) przez wielomian D(x), szukamy wielomianu Q(x), takiego, że:
Zatem według algorytmu dzielenia mamy: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dywidenda
D(x) → dzielnik
Q(x) → iloraz
R(x) → reszta
Podczas dzielenia wielomian P(x) jest podzielny przez wielomian D(x), jeśli reszta wynosi zero.
Przykład:
Działajmy dzieląc wielomian P(x) = 15x² +11x + 2 przez wielomian D(x) = 3x + 1.
Chcemy się podzielić:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
I krok: dzielimy pierwsze monomium dywidendy przez pierwszy dzielnik:
15x²: 3x = 5x
Drugi krok: mnożymy 5x · (3x+1) = 15x² + 5x i odejmujemy wynik P(x). Aby wykonać odejmowanie, konieczne jest odwrócenie znaków wyniku mnożenia, znajdując wielomian:
Trzeci krok: wykonujemy dzielenie pierwszego członu wyniku odejmowania przez pierwszy człon dzielnika:
6x: 3x = 2
4 krok: więc mamy (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Dlatego musimy:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Przeczytaj też: Praktyczne urządzenie Briota-Ruffiniego – podział wielomianów
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Jaka powinna być wartość m, aby wielomian P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m miał stopień 2?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Rozkład
Alternatywa A
Aby P(x) miało stopień 2, współczynnik x³ musi być równy zero, a współczynnik x² musi być różny od zera.
Więc zrobimy:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
Z drugiej strony mamy, że m + 3 ≠ 0.
Tak więc m ≠ -3.
Zatem mamy jako rozwiązanie pierwszego równania, że m = 3 lub m= -3, jednak dla drugiego mamy m ≠ -3, więc jedynym rozwiązaniem, które sprawia, że P(x) ma stopień 2 jest: m = 3.
Pytanie 2 - (IFMA 2017) Obwód figury można zapisać wielomianem:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Rozkład
Alternatywa D
Z obrazu, gdy analizujemy podaną długość i szerokość, wiemy, że obwód jest sumą wszystkich boków. Ponieważ długość i wysokość są takie same, po prostu mnożymy sumę podanych wielomianów przez 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
