Układ równań: jak liczyć, metody, ćwiczenia – szkoła brazylijska

Uważamy, że układ równań kiedy zamierzamy rozwiązywać problemy, które dotyczą wielkości liczbowych i generalnie uciekamy się do użycia równania do reprezentowania takich sytuacji. W większości rzeczywistych problemów powinniśmy rozważyć więcej niż jeden more równanie jednocześnie, co w ten sposób zależy od konstrukcji systemów.

Problemy takie jak kształtowanie ruchu można rozwiązywać za pomocą systemów liniowych. musimy zrozumieć elementy układu liniowego, jakich metod użyć i jak określić jego rozwiązanie.

Układy równań to te, które działają z więcej niż jedną wielkością liczbową.

Równania

Nasze badanie będzie dotyczyło układów równań liniowych, więc najpierw zrozummy, co a równanie liniowe.

Równanie nazywamy liniowym, gdy można je zapisać w ten sposób:

₁ ·x₁ +₂ ·x₂ +₃ ·x₃ +...+ do_Nie ·x_Nie = k

W którym_{1, 2, 3,..., Nie}) oni są współczynniki równania, (x_1, x_2, x_3,..., x_Nie) są incognito i musi być liniowe, a k jest semestrniezależny.

• Przykłady

• -2x + 1 = -8 ® Równanie liniowe z jedną niewiadomą
• 5p + 2r =5 ® Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi
• 9x – y - z = 0 ® Równanie liniowe z trzema niewiadomymi
• 8ab +c – d = -9 ® Równanie nieliniowe

Wiedzieć więcej: Różnice między funkcją a równaniem

Jak obliczyć układ równań?

Rozwiązaniem układu liniowego jest każdy uporządkowany i skończony zbiór, który spełnia jednocześnie wszystkie równania układu. Liczba elementów zbioru rozwiązań jest zawsze równa liczbie niewiadomych w systemie.

• Przykład

Rozważmy system:

Zamówiona para (6; -2) spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem układu. Zbiór tworzony przez rozwiązania systemu nosi nazwę zestaw rozwiązań. Z powyższego przykładu mamy:

S = {(6; -2)}

Sposób pisania w nawiasach i nawiasach wskazuje na zbiór rozwiązań (zawsze w nawiasach) utworzony przez uporządkowaną parę (zawsze w nawiasach).

Obserwacja: Jeśli dwa lub więcej systemów ma to samo rozwiązanie zestawu, systemy te nazywają się systemy równoważne.

Metoda wymiany

Metoda wymiany składa się z trzech kroków. W tym celu rozważ system

• Krok 1

Pierwszym krokiem jest: wybierz jedno z równań (najłatwiejsza) i wyizoluj jedną z niewiadomych (najłatwiejszą). A zatem,

x – 2 lata = -7

x = -7 + 2y

• Krok 2

W drugim kroku po prostu zastąpić, w niewybranym równaniu, niewiadome izolowane w pierwszym kroku. Wkrótce,

3x + 2 lata = -7

3 (-7 + 2 lata) + 2 lata = - 5

-21 +6 lat + 2 lata =-5

8 lat = -5 +21

8 lat = 16

y = 2

• Krok 3

Trzeci krok składa się z zastąp znalezioną wartość w drugim kroku w dowolnym równaniu. A zatem,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Dlatego rozwiązaniem systemowym jest S {(-3, 2)}.

metoda dodawania

Aby wykonać metodę dodawania, musimy pamiętać, że współczynniki jednej z niewiadomych muszą być przeciwne, czyli posiadanie równych liczb o przeciwnych znakach. Rozważmy ten sam system, co metodę podstawienia.

Zobacz, że nieznane współczynniki tak spełniają nasz warunek, wystarczy więc dodać każdą z kolumn układu, otrzymując równanie:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

I podstawiając wartość x w dowolnym z równań, mamy:

x - 2 lata = -7

-3 - 2 lata = -7

-2 lata = -7 + 3

(-1) (-2 lata) = -4 (-1)

2 lata = 4

y = 2

Dlatego rozwiązaniem systemowym jest S {(-3, 2)}

Przeczytaj też: Rozwiązywanie problemów za pomocą układów równań

Klasyfikacja układów liniowych

Możemy sklasyfikować układ liniowy według liczby rozwiązań. System liniowy można podzielić na możliwe i określone, możliwe inieokreślony i niemożliwy.

→ System jest możliwy i określony (SPD): unikalne rozwiązanie

→ System możliwy i nieokreślony (SPI): więcej niż jedno rozwiązanie

→ Niemożliwy system: brak rozwiązania

Zobacz schemat:

Ćwiczenie rozwiązane

Pytanie 1 - (Vunesp) Ołówek mechaniczny, trzy zeszyty i długopis kosztują łącznie 33 realy. Dwa ołówki mechaniczne, siedem zeszytów i dwa długopisy kosztują razem 76 reali. Koszt ołówka mechanicznego, notesu i długopisu razem w realach wynosi:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Rozwiązanie

Przypiszmy nieznane x w cenie każdego ołówka mechanicznego, tak w cenie każdego notebooka i z w cenie każdego długopisu. Z oświadczenia musimy:

Mnożąc górne równanie przez -2 musimy:

Dodając termin do terminu, będziemy musieli:

y = 10

Zastąpienie wartości tak znalezione w pierwszym równaniu, musimy:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z = 33

x + z = 3

Dlatego cena ołówka, notesu i długopisu wynosi:

x + y + z = 13 reali.

Alternatywa C

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm