O Plan Arganda-Gaussa składa się z dwóch osi: jednej pionowej (zwanej osią urojoną) i jednej poziomej (zwanej osią rzeczywistą). To jest możliwe geometrycznie reprezentują geometric Liczby zespolonektóre są w formie algebraicznej.
Dzięki tej geometrycznej reprezentacji jest to możliwe opracować pewne koncepcje, takie jak moduł i argument liczby zespolonej. Liczby zespolone są reprezentowane algebraicznie przez z = a + bi, więc są reprezentowane przez kropki (a, b), co nazywa się afiksem.
Przeczytaj też: Reprezentacja geometryczna sumy liczb zespolonych
Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych
Płaszczyzna złożona, znana również jako płaszczyzna Arganda-Gaussa, to nic innego jakkartezjański samolot dla liczb zespolonych. W płaszczyźnie Arganda-Gaussa możliwe jest przedstawienie liczby zespolonej jako kropki, znanej jako afiks. Wraz z opracowaniem złożonego planu pojawia się rozwój Geometria analityczna dla liczb zespolonych, co umożliwia rozwijanie ważnych pojęć, takich jak moduł i argument.
Liczba zespolona reprezentowana w postaci algebraicznej to z = a+bi, na czym? jest prawdziwą częścią i b jest częścią urojoną. W związku z tym, liczby zespolone są reprezentowane jako kropka (a, b). W płaszczyźnie Arganda-Gaussa oś pozioma jest osią części rzeczywistej, a oś pionowa jest osią części urojonej.
Afiks
O punkt na płaszczyźnie reprezentującej liczbę zespoloną jest również nazywany afiksem. Istnieją trzy możliwe przypadki reprezentacji: afiksy urojone, afiksy rzeczywiste i czyste afiksy urojone.
wyimaginowane afiksy
Afiks jest znany jako urojony, gdy liczba zespolona ma zarówno a część rzeczywista i część urojona niezerowe. W tym przypadku afiks jest punktem w dowolnym z czterech kwadrantów, w zależności od wartości a, b i ich odpowiednich znaków.
Przykład:
Zobacz reprezentację liczb zespolonych z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i oraz z4= 1 - 4i.
Zobacz też: Własności obejmujące liczby zespolone
czyste afiksy urojone
Liczba zespolona jest znana jako czysta urojona, kiedy twoja rzeczywista część równa się zeroczyli z = bi. Zauważ, że w tym przypadku pierwsza współrzędna to zawsze zero, więc pracujmy z punktami typu (0, b). Podczas znakowania w płaszczyźnie Arganda-Gaussa zawsze stosuje się czysty wyimaginowany afiks będzie punktem należącym do wyobrażonej osi, czyli do osi pionowej.
Przykład:
Zobacz reprezentację liczb zespolonych z1 = 2i i z2= -3i.
prawdziwe afiksy
Liczba zespolona jest klasyfikowana jako as prawdziwy numerkiedy twój część urojona równa się zeroczyli z = a. W tym przypadku druga współrzędna jest zawsze zerowa, więc będziemy pracować z punktami typu (a, 0), więc część urojona ma wartość zero, a afiksy są zawarte w rzeczywistej osi płaszczyzny zespolonej.
Przykład:
Zobacz reprezentację liczb zespolonych z1 = 2 i z2 = -4.
Moduł liczb zespolonych
Reprezentując liczbę zespoloną, niech P (a, b) będzie przyrostkiem liczby zespolonej z = a + bi. Znamy moduł liczby zespolonej a odległość od punktu P do początku. Moduł liczby zespolonej z jest reprezentowany przez |z|. Aby znaleźć wartość |z|, używamy twierdzenie Pitagorasa.
|z|² =a²+b²
Możemy również reprezentować przez:
Przykład:
Oblicz moduł liczby zespolonej z = 12 -5i.
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| =13
Również dostęp: Czym są liczby wymierne?
liczba zespolona argument
Wiemy jak argument liczby zespolonej O kąt θ utworzony przez wektor OP i oś rzeczywistą. Argument liczby jest reprezentowany przez arg(z) = θ.
Aby znaleźć kąt, używamy stosunki trygonometryczne sinus i cosinus.
Aby znaleźć wartość argumentu, znając sinus i cosinus, po prostu zapoznaj się z tabelą wartości dla tych stosunków trygonometrycznych. Zwykle podczas egzaminów wstępnych na ten temat argumentem jest: niezwykły kąt.
Przykład:
Znajdź argument liczby zespolonej z = 1 + i.
Najpierw obliczmy moduł z.
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = √2
Znając |z|, możemy obliczyć sinus i cosinus kąta.
Kąt, który ma sinus i cosinus ze znalezionymi wartościami to 45º.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Jaki jest argument liczby zespolonej z = √3+ i ?
A) 30
B) 45.
C) 60.
D) 90º
E) 120.
Rozkład
Alternatywa C.
Wiemy, że a = √3 i b = 1, więc:
Pytanie 2 - W poniższym złożonym planie przedstawiono niektóre liczby. Analizując plan, możemy powiedzieć, że punkty są reprezentacjami czystych liczb urojonych:
A) M, N i I.
B) P i I.
C) L i G.
D) O, Ja, G.
E) K, J i L.
Rozkład
Alternatywa B.
Aby zidentyfikować czystą liczbę urojoną w płaszczyźnie zespolonej, konieczne jest, aby znajdowała się ona na szczycie osi pionowej, którą w tym przypadku są punkty P i I.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
