O trójkąt równoboczny to specjalny rodzaj trójkąta. Z tego powodu wszystkie właściwości odnoszące się do trójkątów są dla niego ważne, ale ten typ również ma specyficzne właściwości.
Kiedy jeden wielokąt ma tylko trzy strony, jest znany jako trójkąt. Ten geometryczny kształt można sklasyfikować porównując jego boki. Więc trójkąt może być różnoboczny, kiedy wszystkie strony są różne;równoramienny, gdy dwie strony są przystające; i równoboczny, gdy trzy strony są przystające.
Trójkąt równoboczny ma specyficzne cechy ze względu na równe wymiary. Istnieją nawet wzory do obliczania pola i obwodu, które są efektywne tylko dla trójkątów równobocznych
Przeczytaj też: Piramidy - figury geometryczne, których boczne powierzchnie tworzą trójkąty
Własności trójkąta równobocznego
Trójkąt jest znany jako równoboczny, gdy ma pomiar trzech przystających stron, zatem w konsekwencji Twój kąty wewnętrzne są również zgodne. Ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze równa 180º, a kąty są równe, gdy podzielimy 180º przez 3, otrzymamy kąty 60º. Dlatego kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego zawsze mierzą 60°.
Ze względu na te cechy trójkąt równoboczny ma specyficzne właściwości. jeśli wyśledzimy wysokość trójkąta równobocznego, będzie to również dwusieczna (odcinek, który dzieli kąt na dwie przystające części) i średni (linia prosta, która łączy wierzchołek ze środkiem przeciwnej strony).
Podczas dzielenia trójkąta, jak to zrobiono na poprzednim obrazku, wysokość trójkąta można zapisać jako funkcję boku, co można zademonstrować zarówno trygonometria ile o? twierdzenie Pitagorasa.
Wzór na obliczenie wysokości trójkąta równobocznego to:
Przeczytaj też:Mediana, dwusieczna i wysokość trójkąta
→ Pierwsza demonstracja:
W twierdzeniu Pitagorasa pokazano, że istnieje związek między bokami a trójkąt prostokątny. Suma kwadratu nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna to największa strona przeciwna do kąta 90° (w naszym przypadku strona, która mierzy tam), a nogi to dwie pozostałe strony. Musimy więc:
→ II demonstracja:
Warto pamiętać o dwóch ważnych faktach dotyczących trygonometrii. Jednym z nich jest sinus jednego kąta, a drugiego to sinus 60°.
Sinus dowolnego kąta jest określony przez zależność między przeciwną stroną a przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego:
Warto też pamiętać o niezwykłe kąty, czyli kąty 30º, 45º i 60º. W tym przypadku użyjemy kąta 60º, dlatego należy zwrócić uwagę, że:
Dzięki temu można wykazać, że wysokość zależy tylko od h. Popatrz:
Niezależnie od rodzaju demonstracji widać, że wysokość (h) zależy tylko od wartości obliczanej strony.
Obwód trójkąta równobocznego
Obwód to suma wszystkich boków wielokąta. Ponieważ trójkąt równoboczny to a wielokąt foremnytj. ma wszystkie trzy przystające strony, obliczenie twojego obwodu jest bardzo proste, zależy tylko od pomiaru z boku tam trójkąta równobocznego. Ponieważ ma wszystkie trzy boki o tej samej miary, musimy:
P = 3tam
Przykład 1:
Oblicz obwód trójkąta równobocznego o boku 9 cm.
Rozkład:
P = 3tam
P = 3,9 = 27 cm
Przykład 2:
Do ogrodzenia działki 5 pętlami drutu potrzeba było 450 metrów drutu. Wiedząc, że teren ma kształt trójkąta równobocznego, jaka jest miara każdego z jego boków?
Rozkład:
Mamy jako dane 5 razy obwód i chcemy obliczyć wartość boków.
Dlatego musimy:
Również dostęp: Powierzchnia pryzmatu - obliczenia wykonane z płaskich brył geometrycznych
obszar trójkąta równobocznego
Rozumiemy to obszar trójkąta każdy jest podany przez mnożenie podstawy przez wysokość podzielone przez dwa, ale trójkąt równoboczny ma na to specjalny wzór, który wygląda następująco:
→ Demonstracja formuły:
Pole dowolnego trójkąta określa:
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - Czy pole i wysokość trójkąta równobocznego o obwodzie odpowiednio 15 cm (wskazówka: użyj √3 = 1,7)?
a) 15 i 225
b) 5 i 11,3
c) 10,5 i 21
d) 4,25 i 10,625
e) 8,5 i 22,5
Rozkład
- I krok: znajdź wartość z boku tam.
Jeśli obwód ma 15 cm, oznacza to, że 3tam jest równy 15, czyli bok trójkąta ma 5 cm.
- II krok: obliczyć wysokość.
- 3 krok: oblicz powierzchnię.
Litera D.
Pytanie 2 - Trójkąt równoboczny ma boki o wymiarach y, 2x + 3 i 4x – 2, więc wartości x i y wynoszą odpowiednio:
a) 5 i 16
b) 16 i 5
c) 4 i 2
d) 8 i 2,5
e) 2,5 i 8
Rozkład:
Trójkąt równoboczny ma przystające boki, więc:
Najpierw dopasujmy strony, które mają tę samą niewiadomą:
Znając wartość x, wybieramy dowolną stronę, która ma tę nieznaną i ustawiamy ją na y.
Litera e.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-triangulo-equilatero-seus-elementos.htm
