Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym

Podstawowe twierdzenie algebry dla równania wielomianowe gwarantuje, że „wielomian każdego stopnia n≥ 1 ma co najmniej jeden złożony korzeń". Dowodu tego twierdzenia dokonał matematyk Friedrich Gauss w 1799 roku. Z tego możemy wykazać, że twierdzenie o rozkładzie wielomianowym, co gwarantuje, że dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki pierwszego stopnia. Weź następujący wielomian p(x) klasy n ≥ 1 i_Nie ≠ 0:

p(x) = a_Nie x^Nie +_n-1 x^n-1 + … +₁x¹ +₀

Poprzez podstawowe twierdzenie algebry możemy stwierdzić, że ten wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek złożony. ty₁, taki, że p(u₁) = 0. O Twierdzenie D'Alemberta do dzielenie wielomianów stwierdza, że ​​jeśli p(u₁) = 0, następnie p(x) jest podzielna przez (x - u₁), co daje iloraz co₁(x), który jest wielomianem stopnia (n - 1), co prowadzi nas do powiedzenia:

p (x) = (x - u₁). co₁(x)

Z tego równania należy podkreślić dwie możliwości:

Jeśli u = 1 i co₁(x) jest wielomianem stopnia (n-1), następnie co₁(x) ma stopień naukowy 0. Jako dominujący współczynnik p(x) é _Nie, co₁(x) jest stałym wielomianem typu co₁(x)=_Nie. Więc mamy:

p (x) = (x - u₁). co₁(x)
(x) = (x - u₁)._Nie
p(x) = a_Nie . (x - u₁)

Ale jeśli u ≥ 2, to wielomian co₁ ma stopień naukowy n - 1 ≥ 1 oraz podstawowe twierdzenie algebry. Możemy powiedzieć, że wielomian co₁ ma co najmniej jeden korzeń Nie₂, co prowadzi nas do stwierdzenia, że co₁ można zapisać jako:

co₁(x) = (x - u₂). co₂(x)

Ale jak p (x) = (x - u₁). co₁(x), możemy to przepisać jako:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). co₂(x)

Kolejno powtarzając ten proces, będziemy mieli:

p(x) = a_Nie. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_Nie)

Możemy zatem stwierdzić, że każde równanie wielomianowe lub wielomianowe p(x) = 0 klasy n≥ 1 posiadać dokładnie Nie złożone korzenie.​

Przykład: Być p(x) wielomian stopnia 5tak, że jego korzenie są – 1, 2, 3, – 2 i 4. Napisz ten wielomian rozłożony na czynniki pierwszego stopnia, biorąc pod uwagę dominujący współczynnik równy 1. Musi być napisany w formie rozszerzonej:

gdyby – 1, 2, 3, – 2 i 4 są pierwiastkami wielomianu, więc iloczynem różnic x dla każdego z tych korzeni daje p(x):

p(x) = a_Nie.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Jeśli dominujący współczynnik _Nie = 1, mamy:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12).(x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

przez Amandę Gonçalves
Ukończył matematykę

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm