Koncepcje wielokrotności i dzielniki liczby naturalnej rozciągają się na zbiór wszystkie liczby. Zajmując się tematem wielokrotności i dzielników, odwołujemy się do zbiory liczbowe które spełniają pewne warunki. Wielokrotności znajdują się po pomnożeniu przez liczby całkowite, a dzielniki to liczby podzielne przez określoną liczbę.
Z tego powodu znajdziemy podzbiory liczb całkowitych, ponieważ elementy zbiorów wielokrotności i dzielników są elementami zbioru liczb całkowitych. Aby zrozumieć, czym są liczby pierwsze, konieczne jest zrozumienie pojęcia dzielników.
wielokrotności liczby
być i b dwie znane liczby całkowite, liczba jest wielokrotnością b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita k takie, że = b · k. Więc zestaw wielokrotności w uzyskuje się przez pomnożeniedla wszystkich liczb całkowitych, wyniki tych mnożenia są wielokrotnościami .
Na przykład wypiszmy pierwsze 12 wielokrotności 2. W tym celu musimy pomnożyć liczbę 2 przez pierwsze 12 liczb całkowitych, tak:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Dlatego wielokrotności 2 to:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Zauważ, że wymieniliśmy tylko pierwszych 12 liczb, ale mogliśmy podać tyle, ile potrzeba, ponieważ listę wielokrotności podaje się, mnożąc liczbę przez wszystkie liczby całkowite. A zatem, zbiór wielokrotności jest nieskończony.
Aby sprawdzić, czy liczba jest wielokrotnością innej, musimy znaleźć liczbę całkowitą, aby po mnożeniu między nimi powstała pierwsza liczba. Zobacz przykłady:
→ Liczba 49 jest wielokrotnością 7, ponieważ istnieje liczba całkowita, która pomnożona przez 7 daje 49.
49 = 7 · 7
→ Liczba 324 jest wielokrotnością 3, ponieważ istnieje liczba całkowita, która pomnożona przez 3 daje 324.
324 = 3 · 108
→ Numer 523 Nie jest wielokrotnością 2, ponieważ nie ma liczby całkowitej co pomnożone przez 2 daje 523.
523 = 2 · ?
Przeczytaj też: Własności mnożenia ułatwiające obliczenia umysłowe
Wielokrotność 4
Jak widzieliśmy, aby wyznaczyć wielokrotności liczby 4, musimy pomnożyć liczbę 4 przez liczby całkowite. A zatem:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Dlatego wielokrotności 4 to:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Wielokrotności 5
Analogicznie mamy wielokrotności 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Stąd wielokrotności 5 to: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }
dzielniki jednoliczbowe
być i b dwie znane liczby całkowite, powiedzmy b jest dzielnikiem jeśli liczba b jest wielokrotnością , to jest podział pomiędzy b i jest dokładny (musi opuścić reszta 0).
Zobacz kilka przykładów:
→ 22 jest wielokrotnością 2, więc 2 jest dzielnikiem 22.
→ 63 jest wielokrotnością 3, więc 3 jest dzielnikiem 63.
→ 121 nie jest wielokrotnością 10, więc 10 nie jest dzielnikiem 121.
Aby wymienić dzielniki liczby, musimy poszukać liczb, które ją dzielą. Popatrz:
– Wymień dzielniki 2, 3 i 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Zauważ, że liczby na liście dzielników są zawsze podzielne przez daną liczbę i że najwyższą wartością, która pojawia się na tej liście, jest sama liczba., ponieważ żadna liczba większa niż nie będzie przez nią podzielna.
Na przykład w dzielnikach 30 największą wartością na tej liście jest samo 30, ponieważ żadna liczba większa niż 30 nie będzie przez nią podzielna. A zatem:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Wiedzieć więcej: Ciekawostki dotyczące dzielenia liczb naturalnych
Własność wielokrotności i dzielników
Te właściwości są związane z podział między dwiema liczbami całkowitymi. Zauważ, że gdy liczba całkowita jest wielokrotnością innej, jest również podzielna przez tę inną liczbę.
Weź pod uwagę algorytm dzielenia abyśmy mogli lepiej zrozumieć właściwości.
N = d · q + r, gdzie qir są liczbami całkowitymi.
Zapamietaj to N jest nazywany dywidendy;d, dla dzielnika;q, dla ilorazu; i r, tak przy okazji.
→ Właściwość 1: Różnica między dzielną a resztą (N – r) jest wielokrotnością dzielnika lub liczba d jest dzielnikiem (N – r).
→ Właściwość 2: (N – r + d) jest wielokrotnością d, czyli liczba d jest dzielnikiem (N – r + d).
Zobacz przykład:
– Wykonując dzielenie 525 przez 8 otrzymujemy iloraz q = 65 a resztę r = 5. Mamy więc dzielną N = 525 i dzielnik d = 8. Zobacz, że własności są spełnione, ponieważ (525 – 5 + 8) = 528 jest podzielne przez 8 i:
528 = 8 · 66
liczby pierwsze
ty liczby pierwsze to są te, które mają jako dzielnik w swoim wykazie tylko liczbę 1 i samą liczbę. Aby sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą, czy nie, jedną z najprostszych metod jest wymienienie dzielników tej liczby. Jeśli pojawiają się liczby większe niż 1 i dana liczba, nie jest to liczba pierwsza.
→ Sprawdź, które są liczbami pierwszymi od 2 do 20. W tym celu wypiszmy dzielniki wszystkich tych liczb od 2 do 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Liczby pierwsze od 2 do 20 to:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19}
Zauważ, że zbiór pochodzi z niektórych pierwszych liczb pierwszych, ta lista jest długa. Zauważ, że im większa liczba, tym trudniej jest stwierdzić, czy jest liczbą pierwszą, czy nie.
Czytaj więcej: Liczby niewymierne: te, których nie można przedstawić w ułamkach
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (UMC-SP) Liczba elementów w zbiorze pierwszych dzielników 60 wynosi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Rozwiązanie
Alternatywa A
Najpierw wymienimy dzielniki 60, a następnie przyjrzymy się, które z nich są pierwsze.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Z tych liczb mamy liczby pierwsze:
{2, 3, 5}
Dlatego liczba pierwszych dzielników 60 wynosi 3.
pytanie 2 – Napisz wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 100 i wielokrotności 15.
Rozwiązanie
Wiemy, że wielokrotności 15 są wynikiem pomnożenia liczby 15 przez wszystkie liczby całkowite. Ponieważ ćwiczenie prosi o zapisanie liczb naturalnych mniejszych niż 100 i będących wielokrotnościami 15, musimy: pomnóż 15 przez wszystkie liczby większe od zera, aż znajdziemy największą wielokrotność przed 100, a zatem:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Dlatego liczby naturalne mniejsze niż 100 i wielokrotności 15 to:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
pytanie 3 – Jaka jest największa wielokrotność 5 między 100 a 1001?
Rozwiązanie
Aby określić największą wielokrotność 5 między 100 a 1001, po prostu zidentyfikuj pierwszą wielokrotność 5 od tyłu do przodu.
1001 nie jest wielokrotnością 5, ponieważ nie ma liczby całkowitej, która pomnożona przez 5 daje wynik 1001.
1000 jest wielokrotnością 5, ponieważ 1000 = 5 · 200.
Dlatego największa wielokrotność 5, między 100 a 1001, wynosi 1000.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm