Idealny trójmian kwadratowy to trzeci przypadek algebraicznej faktoryzacji wyrażeń. Można go używać tylko wtedy, gdy wyrażenie algebraiczne jest trójmianem (wielomian z trzema jednomianami) i ten trójmian tworzy idealny kwadrat.
co to jest trójmian?
Trójmian to wielomian, który ma trzy jednomiany bez podobnych terminów, zobacz przykłady:
3x2 + 2x + 1
20x3 + 5x - 2x2
2ab +5b + 3c
Nie wszystkie powyższe trójmiany można wyliczyć za pomocą idealnego kwadratu.
co to jest idealny kwadrat?
Aby lepiej zrozumieć, czym jest idealny kwadrat, zobacz:
Czy możemy uznać liczbę za idealny kwadrat? Tak, wystarczy, że ta liczba jest wynikiem innej liczby do kwadratu, na przykład: 25 to kwadrat idealny, ponieważ 52 = 25.
Teraz powinniśmy zastosować to do wyrażenia algebraicznego, spójrz na poniższy kwadrat o bokach x + y, wartość tego boku jest wyrażeniem algebraicznym.
Aby obliczyć powierzchnię tego kwadratu, możemy zastosować dwa różne sposoby:
Pierwsza droga: wzór na obliczenie kwadratowy obszar to A = bok2, więc ponieważ bok w tym kwadracie to x + y, po prostu go podnieś do kwadratu.
TEN1 = (x + y)2
Wynik tego obszaru A1 = (x + y)2 to idealny kwadrat.
Drugi sposób: ten kwadrat został podzielony na cztery prostokąty, z których każdy ma swój własny obszar, więc suma wszystkich tych obszarów jest całkowitą powierzchnią największego kwadratu, a więc:
TEN2 = x2 + xy + xy + y2, ponieważ xy i xy są podobne, możemy je dodać
TEN2 = x2 +2xy + y2
Wynik obszaru A2 = x2 +2xy + y2 jest trójmianem.
Dwa znalezione obszary reprezentują obszar tego samego kwadratu, a więc:
TEN1 = A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2
Więc trójmian x2 +2xy + y2 mieć jako idealny kwadrat (x + y)2.
Kiedy mamy wyrażenie algebraiczne i jest ono trójmianem idealnego kwadratu, jego rozczynnik na czynniki jest reprezentowany jako idealny kwadrat, zobacz:
trójmian x2 +2xy + y2 rozłożone na czynniki to (x + y)2.
Jak zidentyfikować idealny trójmian kwadratowy
Jak już wspomniano, nie każdy trójmian można przedstawić w postaci idealnego kwadratu. Teraz, gdy podany jest trójmian, jak mamy zidentyfikować, czy jest to kwadrat idealny, czy nie?
Aby trójmian był idealnym kwadratem, musi mieć pewne cechy:
• Dwa wyrazy (monomie) trójmianu muszą być kwadratowe.
• Jeden wyraz (monomium) trójmianu musi być dwukrotnością pierwiastków kwadratowych pozostałych dwóch wyrazów.
Zobacz przykład:
Zobacz, czy trójmian 16x2 + 8x + 1 to idealny kwadrat, więc postępuj zgodnie z powyższymi zasadami:
Dwa człony trójmianu mają pierwiastki kwadratowe, a ich podwojenie jest wyrazem środkowym, więc trójmian 16x2 + 8x + 1 to idealny kwadrat.
Więc faktoryczna forma trójmianu to 16x2 + 8x + 1 to (4x + 1)2, ponieważ jest to suma pierwiastków do kwadratu.
Zobacz kilka przykładów:
Przykład 1:
Biorąc pod uwagę trójmian m2 – mn + n2, musimy wykorzenić terminy m2 i nie2, pierwiastki będą miały wartość m i n, dwa razy te pierwiastki będą wynosić 2. m. n, który jest inny niż wyraz m n (wyrazy środkowe), więc ten trójmian nie jest kwadratem idealnym.
Przykład 2:
Biorąc pod uwagę trójmian 4x2 – 8xy + y2, musimy wziąć korzenie wyrazów 4x2 i ty2, pierwiastki będą wynosić odpowiednio 2x i y. Podwójna liczba tych pierwiastków musi wynosić 2. 2x. y = 4xy, co różni się od wyrazu 8xy, więc tego trójmianu nie można rozłożyć na czynniki przy użyciu idealnego kwadratu.
Przykład 3:
Biorąc pod uwagę 1 + 9 trójmian2 – VI.
Musimy, przed użyciem reguł idealnego kwadratu, umieścić trójmian w porządku rosnącym wykładników, w ten sposób:
9th2 – 6 + 1.
Teraz bierzemy korzeń terminów 9a2 i 1, które będą odpowiednio 3a i 1. Podwój te korzenie wyniesie 2. 3. 1 = 6a, co jest równe członowi środkowemu (6a), więc dochodzimy do wniosku, że trójmian jest idealnym kwadratem, a jego forma podzielona na czynniki to (3a – 1)2.
autor: Danielle de Miranda
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm