W wyrażenia algebraiczne są te wyrażenia matematyczne, które mieć cyfry i litery, znany również jako zmienne. Używamy liter do reprezentowania nieznanych wartości lub nawet do analizy zachowania wyrażenia zgodnie z wartością tej zmiennej. Wyrażenia algebraiczne są dość powszechne w badaniu równania oraz w pisaniu formuł z matematyki i dziedzin pokrewnych.
Jeśli wyrażenie algebraiczne ma jeden wyraz algebraiczny, jest znane jako jednomian; kiedy ma więcej niż jeden, nazywa się wielomian. Możliwe jest również obliczenie operacji algebraicznych, które są operacjami między wyrażeniami algebraicznymi.
Przeczytaj też: Ułamki algebraiczne - wyrażenia, które zawierają co najmniej jedną nieznaną w mianowniku
Co to jest wyrażenie algebraiczne?
Definiujemy jako wyrażenie algebraiczne a wyrażenie zawierające litery i cyfry oddzielone podstawowymi operacjami matematycznymi, jak dodawanie i mnożenie. Wyrażenia algebraiczne mają ogromne znaczenie w najbardziej zaawansowanych badaniach matematyki, umożliwiając obliczanie nieznanych wartości w równaniach, a nawet badanie funkcji. Spójrzmy na kilka przykładów wyrażeń algebraicznych:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² +2x - 3
Wyrażeniom algebraicznym nadawane są określone nazwy w zależności od tego, ile mają terminów algebraicznych.
jednomiany
Wyrażenie algebraiczne jest znane jako monomium, gdy ma tylko termin algebraiczny. Termin algebraiczny to taki, w którym litery i cyfry są oddzielone tylko przez mnożenie.
Monomium dzieli się na dwie części: o współczynnik, czyli liczba mnożąca literę, a część dosłowna, czyli zmienna z jej wykładnikiem.
Przykłady:
a) 2x³ → współczynnik równy 2, a część dosłowna równa się x³.
b) 4ab → współczynnik równy 4, a część dosłowna równa się ab.
c) m²n → współczynnik jest równy 1, a część dosłowna równa się m²n.
Gdy dosłowne części dwóch jednomianów są takie same, nazywa się je podobnymi jednomianami.
Przykłady:
a) 2x3 i 4x3 są podobne.
b) 3ab² i -7ab² są podobne.
c) 2 mln i 3 mln² Nie są podobne.
d) 5 lat i 5x Nie są podobne.
Zobacz też: Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych – jak obliczyć?
Wielomiany
Gdy wyrażenie algebraiczne zawiera wiele terminów algebraicznych, nazywa się je wielomianem. Wielomian to nic więcej niż suma lub różnica między jednomianami. Jest dość powszechny w użyciu wielomiany w badaniu równań i funkcji, lub w Geometria analityczna, do opisu równań elementów geometrii.
Przykłady:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5 min - 3
d) 4y² + x³ - 4x + 8
Uproszczenie wyrażeń algebraicznych
W wyrażeniu algebraicznym gdy istnieją podobne terminy, można uprościć to wyrażenie. poprzez operacje ze współczynnikami o podobnych warunkach.
Przykład:
5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y
Dla uproszczenia zidentyfikujmy podobne terminy, to znaczy terminy, które mają tę samą część dosłowną.
5xy²+ 10x– 3xy+ 4x²y – 2x²y² + 5x– 3xy+ 9xy² – 5x²y
Wykonamy operacje pomiędzy podobnymi terminami, wtedy:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy – 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y
Wyrażenie -2x²y² nie ma terminu do niego podobnego, więc uproszczone wyrażenie algebraiczne będzie wyglądało następująco:
-2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y
operacje algebraiczne
Dodawanie lub odejmowanie wyrażeń algebraicznych to nic innego jak uproszczenie wyrażenia, więc można operować tylko z podobnymi terminami algebraicznymi. W mnożeniu konieczne jest jednak użycie własności rozdzielności między terminami, jak pokazano w poniższych przykładach:
Przykład dodawania:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Ponieważ jest to dodatek, możemy po prostu usunąć nawiasy, nie zmieniając żadnego z terminów:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Teraz uprośćmy wyrażenie:
5x² +2xy - 3
Przykład odejmowania:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
Aby usunąć nawiasy, konieczne jest odwrócenie znaku każdego wyrazu algebraicznego w drugim wyrażeniu:
2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2
Teraz uprośćmy wyrażenie:
– x² + 4xy – 7
Przykład mnożenia:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
Stosując własność rozdzielności, znajdziemy:
6x4 – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10
Teraz uprośćmy wyrażenie:
6x4 + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10
Również dostęp: Jak uprościć ułamki algebraiczne?
Wartość liczbowa wyrażeń algebraicznych
Znając wartość zmiennej wyrażenia algebraicznego, można znaleźć jego wartość liczbową. Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego jest niczym innym jak końcowym wynikiem, gdy zastąpimy zmienną wartością.
Przykład:
Biorąc pod uwagę wyrażenie x³ + 4x² + 3x – 5, jaka jest wartość liczbowa wyrażenia, gdy x = 2.
Aby obliczyć wartość wyrażenia, zamieńmy x na 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
25
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Wyrażenie algebraiczne reprezentujące obwód następującego prostokąta to:
A) 5x – 5
B) 10x – 10
C) 5x + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Rozkład
Alternatywa B.
Aby obliczyć obwód, dodajmy razem cztery boki. Wiedząc, że równoległe boki są takie same, musimy:
P = 2 (2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x – 8 + 6x – 2
P = 10x – 10
Pytanie 2 - (Enem 2012) Prostokątna materiałowa podszewka ma na metce informację, że po pierwszym praniu się skurczy, zachowując jednak swój kształt. Poniższy rysunek przedstawia oryginalne pomiary sufitu i rozmiar skurczu (x) na długości i (y) na szerokości. Wyrażenie algebraiczne reprezentujące powierzchnię sufitu po umyciu to (5 – x) (3 – y).
W tych warunkach utracony obszar podszewki, po pierwszym praniu, będzie wyrażony przez:
A) 2xy
B) 15 - 3x
C) 15 - 5 lat
D) -5 lat – 3x
E) 5y + 3x – xy
Rozkład
Alternatywa E.
Aby obliczyć powierzchnię a prostokąt, obliczamy powierzchnię, znajdując iloczyn między podstawą a wysokością prostokąta. Analizując brakującą część sufitu, można podzielić go na dwa prostokąty, ale jest obszar, który należy do tych dwóch prostokątów, więc będziemy musieli od tego obszaru odjąć obszar.
Największy prostokąt ma podstawę 5 i wysokość y, więc jego pole wynosi 5y. Drugi trójkąt ma podstawę x i wysokość 3, więc jego pole jest podane przez 3x. Region należący do dwóch prostokątów ma jednocześnie podstawę x i wysokość y, więc ponieważ jest liczony w dwóch prostokątach, odejmijmy go od sumy powierzchni. Tak więc utracony obszar jest podany przez wyrażenie algebraiczne:
5 lat + 3x - xy
Raul Rodrigues Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm