TEN matematyka finansowa jest jedną z dziedzin matematyki odpowiedzialnych za naukę zjawiska związane ze światem finansów. Ponadto studiowanie ich koncepcji jest bardzo ważne, ponieważ w naszym codziennym życiu coraz częściej więcej prezentów, na przykład, gdy otrzymamy rabat przy zakupie czegoś w gotówce lub dodatek przy zakupie czegoś raty.
Studiowanie matematyki finansowej wymaga wcześniejszej znajomości odsetek, zobaczymy, że wszystkie koncepcje są oparte na tym temacie.
Przeczytaj też:Obliczanie procentowe z regułą trzech
Do czego służy matematyka finansowa?
Matematyka finansowa jest używana codziennie, na przykład, gdy zamierzamy dokonać zakupu gotówkowego, a sprzedawca oferuje zniżka 5% od wartości produktu lub gdy zdecydujemy się na zakup produktu na raty i w tym procesie a oprocentowanie jest rozliczany przez kupującego z upływem czasu.
Przykładem znaczenia zrozumienia pojęć matematyki finansowej jest dopuszczalny debet. Otwierając konto w określonym banku, oferowane są „dodatkowe” pieniądze, na przykład w nagłych wypadkach. Jednak w przypadku wykorzystania tego limitu lub jego części, oprócz pobranych pieniędzy, pobierana jest opłata, którą należy uiścić później. Ta stopa nazywa się odsetkami, a dzięki lepszemu zrozumieniu tych pojęć możemy opracować lepszą strategię zarządzania naszymi finansami.
Przykład 1
Osoba potrzebuje 100 reali, aby dokończyć spłacanie miesięcznych rachunków, jednak cała pensja została już wydana na pozostałe rachunki. W analizie ta osoba stwierdziła, że ma dwie opcje.
opcja 1 – Skorzystaj z oferowanego przez bank limitu w rachunku bieżącym w wysokości 0,2% dziennie, płatnego w ciągu miesiąca.
Opcja 2 – Odbierz od znajomego 100 reali, w wysokości 2% miesięcznie, do zapłaty przez dwa miesiące.
Korzystając tylko z wiedzy procentowej, przeanalizujmy najlepszą opcję.
analizując opcja 1, zwróć uwagę, że stawka 0,2% jest naliczana dziennie, czyli 0,2% kwoty pożyczki jest dodawane każdego dnia, w ten sposób:
Jak pożyczkę należy spłacić w miesiąc, a biorąc pod uwagę miesiąc z 30 dni, kwota odsetek do zapłaty wynosi:
0,2 ·30
6
W ten sposób możemy stwierdzić, że kwota do zapłaty na koniec miesiąca to:
100 + 6= 106 reali
100 → Kwota pożyczona przez bank
6 → Kwota odsetek
Teraz analizuję Opcja 2, pobierana opłata wynosi 2% miesięcznie i należy ją uiścić w ciągu dwóch miesięcy, czyli co miesiąc do zadłużenia doliczane jest 2% pożyczonej kwoty, tak:
Należy pamiętać, że do kwoty zadłużenia należy dodać 2 reale miesięcznie:
2 · 2 = 4
W związku z tym kwota do zapłaty na koniec okresu wynosi:
100+ 4 = 104 reali
100 → Kwota pożyczona przez znajomego
4 → Kwota odsetek
Możemy więc stwierdzić, że najlepszą opcją jest zabranie pieniędzy z przyjacielem. To proste i ważne zastosowanie matematyki finansowejOczywiście istnieją bardziej wyrafinowane problemy, narzędzia i koncepcje, ale jak wszystko inne w życiu, przed zrozumieniem złożonej części konieczne jest zrozumienie podstaw.
Podstawy matematyki finansowej
Główne koncepcje matematyki finansowej obejmują wcześniejszą wiedzę na temat procentów. Następnie zobaczymy pojęcia takie jak dodawanie, dyskonto, oprocentowanie proste i oprocentowanie składane.
dodanie
Idea dodatku kojarzy się z dodać lub dodać część wartości do jej pierwotnej wartości, czyli dodajemy do siebie procent określonej wartości. Zobacz przykład:
Przykład 2
Produkt kosztował 35 reali, przy wzroście dolara wzrósł o 30%. Określ nową wartość dla tego produktu.
Często, gdy idziemy do obliczeń związanych z dodawaniem, są one wykonywane błędnie, pisząc:
35 + 30%
Procent stanowi część czegoś, więc aby to konto było poprawne, musimy najpierw obliczyć 30% wartości początkowej, w tym przypadku 35. A zatem:
35 + 30% z 35
Najpierw rozwiązując procent, a następnie sumując wartości, będziemy musieli:
Dlatego po dodaniu wartość w produkcie wyniesie 45,5 reali (czterdzieści pięć reali i pięćdziesiąt centów).
Ogólnie rzecz biorąc, możemy wywnioskować a formuła dodawania. Rozważ wartość x i że wzrasta o p%. Zgodnie z tym, co właśnie zdefiniowaliśmy, możemy napisać ten dodatek w następujący sposób:
x + p% z x
Rozwijając to wyrażenie, będziemy musieli:
Powtórzmy przykład 2, używając powyższej formuły. Zauważ, że x = 35 i że wzrost wyniósł 30%, czyli p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Zwróć uwagę, że uzyskano tę samą wartość i istnieje możliwość użycia takiej formuły.
Zobacz też: Ilości odwrotnie proporcjonalne
Zniżka
Idea dyskontowania jest podobna do idei dodawania, z tą różnicą, że zamiast dodawać, powinniśmy odejmować procent pierwotnej wartości.
Przykład 3 – Produkt, który kosztuje 60 reali, przy zakupie za gotówkę ma 30% rabatu. Określ nową wartość dla tego produktu.
Podobnie jak w przypadku dodatku, będziemy musieli:
Analogicznie do dodawania możemy wywnioskować a formuła rabatowa. Weź pod uwagę wartość x i to, że podlega dyskontowi p%. Zgodnie z tym, co zdefiniowaliśmy, możemy napisać ten dodatek w następujący sposób:
x - p% z x
Rozwijając to wyrażenie, będziemy musieli:
Powtórzmy przykład 3, używając powyższego wzoru, zauważ, że x = 60, a wzrost wyniósł 30%, czyli p = 30%.
x · (1 - 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Zobacz, że korzystając ze wzoru otrzymaliśmy ten sam wynik, więc w rabacie również mamy dwie możliwości jego ustalenia.
proste zainteresowanie
Idea stojąca za proste zainteresowanie to też podobny do idei dodawania, różnicę między nimi określa okres, w którym są obliczane. Chociaż stawka dopłaty jest stosowana raz, prosta stopa procentowa wynosi liczony w przedziale czasowym. Prostą stopę procentową od danego kapitału C można obliczyć przy danej stopie przy prostym reżimie odsetkowym (i), w danym okresie czasu t, przez formuła:
J = C · i · t
Kwota zapłacona na koniec tej inwestycji musi być podana jako kwota wniesiona plus kwota odsetek i nazywana jest kwotą (M). Kwotę określa wyrażenie:
M = C + jot
M = C + C·i·t
M = C (1 + to)
Jedyną troską, jaką powinniśmy mieć w związku z problemami związanymi z prostym zainteresowaniem, jest to, że szybkość i jednostki miary czasu, muszą być zawsze w równych jednostkach.
Przykład 4
Marta chce zainwestować 6000 reali w firmę, która obiecuje generować 20 proc. zysku rocznie przy prostym systemie oprocentowania. Umowa zawarta przez Martę mówi, że może wypłacić pieniądze dopiero po sześciu miesiącach, ustalić, jaki był zwrot jej pieniędzy na koniec tego okresu.
Obserwując to stwierdzenie, zobacz, że kapitał jest równy 6000, więc mamy C = 6000. Oprocentowanie wynosi 20% rocznie, a pieniądze będą inwestowane przez sześć miesięcy. Zwróć uwagę, że stawka została podana w roku, a czas w miesiącach i wiemy, że jednostka miary dla obu musi być taka sama. Znajdźmy opłatę miesięczną, zobacz:
Wiemy, że stawka wynosi 20% rocznie, ponieważ rok ma 12 miesięcy, więc stawka miesięczna będzie wynosić:
20%: 12
1,66% miesięcznie
0,016 miesięcznie
Zastępując te dane we wzorze, musimy:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reali
W związku z tym kwota do wypłaty na koniec sześciu miesięcy wynosi 576 reali, a kwota wynosi:
M = 6000 + 576
M = 6576 reali
Czytaj więcej: Zrozumienie użycia dokalkulator fabudżetowy
Odsetki składane
W prostym oprocentowaniu wartość stopy procentowej jest zawsze naliczana na górze kapitału początkowego, różnica między te dwa systemy (oprocentowanie proste i składane) jest właśnie w tym momencie, czyli tak, jak kurs jest obliczony. W procentach składanych, oprocentowanie zawsze naliczane jest od kapitału z poprzedniego miesiąca, to sprawia, że oprocentowanie rośnie wykładniczo. TEN formuła na obliczenie odsetek w systemie amortyzacji odsetek składanych wyraża się wzorem:
M = C · (1 + i)t
Na co? M to skumulowana kwota, DO to wartość kapitału początkowego, ja to stopa procentowa wyrażona w procentach, oraz t to okres, w którym kapitał został zainwestowany w system. Podobnie jak w przypadku odsetek prostych, w systemie odsetek składanych stopa i czas muszą być w tej samej jednostce.
Przykład 5
Oblicz kwotę, którą Marta zgromadzi na koniec sześciu miesięcy, stosując swoje 6000 reali przy oprocentowaniu 20% rocznie w systemie odsetek składanych.
(Biorąc pod uwagę: 1,20,5 ≈ 1,095)
Zauważ, że dane są takie same jak w przykładzie 4, więc musimy:
C = 6000
i = 0,2 rocznie
t = 0,5 roku
Zastępując dane we wzorze procentu składanego, musimy:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1095
M = 6572,67 reali
Zatem kwota do wypłaty przez Martę w prostym systemie odsetkowym wynosi 6572,67 reali. Zauważ, że kwota w systemie odsetek składanych jest większa niż w systemie prostego oprocentowania i tak się dzieje we wszystkich przypadkach. Aby lepiej zrozumieć, jak obliczana jest ta stawka, odwiedź: Opłaty donaprzeciwkoty.
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 – (FGV – SP) Kapitał stosowany do odsetek prostych, w wysokości 2,5% miesięcznie, potraja się o:
a) 75 miesięcy
b) 80 miesięcy
c) 85 miesięcy
d) 90 miesięcy
e) 95 miesięcy
Rozkład
Alternatywa B.
Musimy znaleźć czas, w którym oprocentowanie jest równe 2C, ponieważ przy oprocentowaniu w ten sposób wraz z początkowo zastosowanym kapitałem C będziemy mieli kwotę 3C (trójka kapitału). A zatem:
J = 2C; C=C; i = 2,5% miesięcznie; t = ?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Tym samym czas na potrojenie tego kapitału wynosi 80 miesięcy.
Uwaga: 80 miesięcy to 6,6 lat.
pytanie 2 – Cena towaru po wzroście o 24% została zmieniona na 1041,60 reala. Określ kwotę przed dodaniem.
Rozkład
Możemy użyć ogólnego wzoru na dodawanie, aby określić wartość towaru przed dodaniem.
x · (1 + 0,01p)
We wzorze wartość x jest tym, czego szukamy, a p jest wartością dodatku, a to wyrażenie daje nam wartość iloczynu po dodaniu, stąd:
1041,60 = x · (1 + 0,01p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Zobacz, że mamy równanie pierwszego stopnia, aby je rozwiązać, musimy wyizolować niewiadomą x, dzieląc obie strony równości przez 1,24, lub po prostu przejść przez dzielenie 1,24. A zatem:
Dlatego wartość towaru przed dodaniem wynosiła 840 reali.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm
