Wielokąty: elementy, klasyfikacja, nazewnictwo

Wielokąty są zdjęcia płaska geometria i zamknięte utworzone przez proste segmenty. Wielokąty są podzielone na dwie grupy, wypukły i nie wypukły. Gdy wielokąt ma wszystkie boki równe, a w konsekwencji wszystkie kąty wewnętrzny równy, jest to wielokąt regularny. Wielokąty regularne można nazwać według liczby ich boków.

Zobacz też: Budowa wielokątów opisanych

Elementy wielokąta

Wielokąt to płaska, zamknięta figura utworzona przez połączenie skończonej liczby odcinków linii prostej. Rozważ więc dowolny wielokąt:

Punkty A, B, C, D, E, F, G i H to wierzchołki wielokąta i są tworzone przez spotkanie odcinków AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH i HA, zwanych boki wielokąta.

Segmenty AF, AE, AD i BG to przekątne wielokąta. (Zauważ, że są to przykłady przekątnych, w poprzednim wielokącie mamy ich więcej.) Przekątne to segmenty linii, które „łączą” wierzchołki wielokąta.

Nomenklatura wielokąta

Możemy nazwać wielokąty według ich liczba boków. Zobacz nazwy głównych wielokątów w poniższej tabeli.

Liczba stron (n)	Nomenklatura
3	trójkąt
4	czworobok
5	Pięciokąt
6	Sześciokąt
7	Siedmiokąt
8	Ośmiokąt
9	Enneagon
10	Dziesięciobok
11	Undecagon
12	Dodekagon
15	Pięciokąt
20	Ikosagon

Zwróć uwagę, że nie jest konieczne dekorowanie stołu, ale zrozumienie go. Z wyjątkiem trójkąta i czworokąta słowotwórstwo to:

Liczba boków + gono

Na przykład, gdy mamy wielokąt pięć stron, automatycznie zapamiętuje prefiks penta plus przyrostek gono: Pięciokąt.

Przykład

Określ nazwę następującego wielokąta:

Liczba boków wielokąta wynosi siedem, więc wielokąt jest siedmiokątem.

klasyfikacja wielokątów

Wielokąty są klasyfikowane według miara twoich kątów i boki. Mówi się, że wielokąt jest równoboczny, gdy ma przystające boki, to znaczy wszystkie boki są równe; i będzie nazywał się równokątem, gdy ma przystające kąty, to znaczy wszystkie równe kąty.

Jeśli wielokąt jest równoboczny i równokątny, to będzie to a wielokąt foremny.

W każdym wielokącie foremnym środek znajduje się w takiej samej odległości od boków, to znaczy jest w równej odległości od boków. Środek wielokąta jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w wielokąt, czyli obwód który znajduje się „wewnątrz” obwodu.

Czytaj więcej: Podobieństwo wielokątów: zobacz, jakie są warunki

Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Być_ja kąt wewnętrzny regularnego wielokąta n-bocznego, sumę tych kątów wewnętrznych przedstawimy przez S_ja.

Zatem suma kątów wewnętrznych jest dana wzorem:

s_ja = (n - 2) · 180°

Aby obliczyć wartość każdego kąta wewnętrznego, po prostu weź sumę kątów wewnętrznych i podziel przez liczbę boków, tj.:

_ja = s_ja
Nie

Przykład 1

Określ sumę kątów wewnętrznych, a następnie miarę każdego kąta wewnętrznego dwudziestokąta.

Wiemy, że dwudziestokąt ma dwadzieścia boków, więc n = 20. Zastępując w związkach mamy:

s_ja = (n - 2) · 180°

s_ja = (20 - 2) · 180°

s_ja = 18 · 180°

s_ja = 3240°

Teraz, aby określić wartość każdego kąta wewnętrznego, po prostu podziel znalezioną wartość przez liczbę boków:

_ja = 3240°
20

_ja = 162°

Przykład 2

Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 720°, znajdź wielokąt.

Zastępując w formule informację o wyciągu mamy:

720° = (n - 2) · 180°

720° = 180n - 360°

180n = 720° + 360°

180n = 1080°

n = 1080°
180°

n = 6 stron

Zatem pożądanym wielokątem jest sześciokąt.

Suma zewnętrznych kątów wielokąta

Suma zewnętrznych kątów wielokąta wynosi zawsze równy 360°.

s_i = 360°

_i = s_i
Nie

_i = 360°
Nie

Przekątne wielokąta

Rozważmy wielokąt n-boczny. Aby określić liczbę przekątnych (d), posługujemy się następującą zależnością:

d = n · (n - 3)
2

Przykład

Określ liczbę przekątnych w pięciokącie i wykreśl je.

Wiemy, że pięciokąt ma pięć boków, więc n = 5. Podstawiając wyrażenie, musimy:

d = 5 · (5 - 3)
2

d = 5 · 2
2

d = 5

Pole i obwód wielokątów

O obwód wielokątów jest zdefiniowana przez suma ze wszystkich stron. Powierzchnia wielokąta jest obliczana poprzez podzielenie wielokąta na figury, które łatwiej obliczyć, takie jak trójkąt i kwadrat.

TEN_Δ = podstawa · wysokość
2

TEN_kwadrat = podstawa · wysokość

Przykład

Określ wyrażenie matematyczne reprezentujące obszar sześciokąta foremnego.

Rozwiązanie:

Początkowo rozważmy sześciokąt foremny i wszystkie odcinki linii prostych, które łączą środek wielokąta z każdym wierzchołkiem. A zatem:

Zwróć uwagę, że ze względu na to, że sześciokąt jest regularny, przy jego dzieleniu znajdujemy sześć trójkąty równobocznych, czyli pole sześciokąta jest sześciokrotnością pola trójkąta równobocznego, czyli:

TEN_sześciokąt = 6 · A_Δ

TEN_sześciokąt = 6 · l² · √3
4

TEN_sześciokąt = 3 · l² · √3
2

TEN_sześciokąt = 3 · l²·√3
2

Przeczytaj też:obszar trójkąta równobocznego

Ćwiczenia rozwiązane

Pytanie 1 – (Enem) Basen ma kształt regularnego wielokąta, którego kąt wewnętrzny jest trzy i pół razy większy od kąta zewnętrznego. Jaka jest suma kątów wewnętrznych wielokąta, którego kształt jest taki sam jak ta sadzawka?

a) 1800°

b) 1620.

c) 1440°

d) 1260°

e) 1080°

Rozwiązanie

Ponieważ nie znamy liczby boków wielokąta, wyobraźmy sobie tylko jeden z wierzchołków tego wielokąta.

Na zdjęciu widać, że:

_ja +_i = 180° (I)

Z oświadczenia wynika, że:

_ja = 3,5 · a_i (II)

Podstawiając równanie (II) do równania (I), będziemy musieli:

3,5 ·_i +_i = 180°

4,5 · a_i = 180°

_i = 180°
4,5

_i = 40°

Wiemy jednak, że kąt wewnętrzny to podział 360° przez liczbę boków wielokąta. A zatem:

_i = 360°
Nie

40° = 360°
Nie

40n = 360°

n = 360°
40°

n = 9

Dlatego suma kątów wewnętrznych basenu wynosi:

s_ja = (n - 2) · 180°

s_ja = (9 - 2) · 180°

s_ja = 7 · 180°

s_ja = 1260°

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki