Promieniowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Operacje na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej ułatwiają obliczenia na elementach tego zbioru. Mnożenie i dzielenie kompleksów w postaci trygonometrycznej odbywa się niemal natychmiast, podczas gdy w postaci algebraicznej proces ten wymaga dalszych obliczeń. Wzmacnianie i promieniowanie kompleksów w formie trygonometrycznej ułatwia także stosowanie formuł Moivre'a. Zobaczmy, jak odbywa się zakorzenienie tych liczb:
Rozważ dowolną liczbę zespoloną z = a + bi. Postać trygonometryczna z to:

Pierwiastki z indeksu n są podane przez drugą formułę Moivre'a:

Przykład 1. Znajdź pierwiastki kwadratowe z 2i.
Rozwiązanie: Najpierw musimy zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Cała liczba zespolona ma postać z = a + bi. Musimy więc:

Wiemy również, że:


Z wartości sinus i cosinus możemy wywnioskować, że:

Zatem postać trygonometryczna z = 2i to:

Teraz obliczmy pierwiastki kwadratowe z ze wzoru Moivre'a.

Ponieważ chcemy pierwiastki kwadratowe z z, otrzymamy dwa różne pierwiastki z0 i z

1.
Dla k = 0 będziemy mieli

Dla k = 1 będziemy mieli:

Lub

Przykład 2. Pobierz pierwiastki sześcienne z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Rozwiązanie: Ponieważ liczba zespolona jest już w postaci trygonometrycznej, po prostu użyj wzoru Moivre'a. Ze stwierdzenia mamy, że ø = π i |z| = 1. A zatem,

Będziemy mieli trzy różne korzenie, z0, z1 i z2.
Dla k = 0

Dla k = 1

Lub z1 = – 1, ponieważ cos π = – 1 i sin π = 0.
Dla k = 2

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna

Liczby zespolone - Matematyka - Brazylia Szkoła

Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:

RIGONATTO, Marcelo. „Promieniowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. Dostęp 29 czerwca 2021 r.

Diagramy Venna w statystykach

Diagramy Venna w statystykach

Badanie i rozwój statystyki wymaga planowania organizacyjnego, ze względu na duże znaczenie badań...

read more

Miary dyspersji: amplituda i odchylenie

W Statystyczny studiował w szkołach podstawowych i średnich, istnieją dwa rodzaje miar stosowanyc...

read more
Obszar trójkąta

Obszar trójkąta

Określmy obszar trójkąta z punktu widzenia geometrii analitycznej. Rozważ więc dowolne trzy punkt...

read more