Rozwiązując równanie drugiego stopnia x2 – 6x + 9 = 0, znajdujemy dwa pierwiastki równe 3. Korzystając z twierdzenia o dekompozycji rozkładamy wielomian na czynniki i otrzymujemy:
x2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
W tym przypadku mówimy, że 3 jest pierwiastkiem krotności 2 lub podwójnym pierwiastkiem równania.
Tak więc, jeśli wielomian rozkładany na czynniki daje w wyniku następujące wyrażenie:
Możemy to powiedzieć:
x = -5 jest pierwiastkiem o wielokrotności 3 lub potrójnym pierwiastkiem z równania p (x) = 0
x = -4 jest pierwiastkiem z krotnością 2 lub podwójnym pierwiastkiem z równania p (x) = 0
x = 2 to pierwiastek z krotnością 1 lub pierwiastek prosty z równania p (x) = 0
Ogólnie mówimy, że r jest pierwiastkiem krotności n, przy n ≥ 1, równania p (x) = 0, jeśli:
Zauważ, że p(x) jest podzielne przez (x – r)mi oraz że warunek q(r) ≠ 0 oznacza, że r nie jest pierwiastkiem q(x) i gwarantuje, że krotność pierwiastka r nie jest większa niż m.
Przykład 1. Rozwiąż równanie x4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, biorąc pod uwagę, że 3 to podwójny pierwiastek.
Rozwiązanie: Rozważ p(x) jako zadany wielomian. A zatem:
Zauważ, że q(x) otrzymuje się dzieląc p(x) przez (x – 3)2.
Dzieląc przez praktyczne urządzenie Briota-Ruffiniego otrzymujemy:
Po wykonaniu podziału widzimy, że współczynniki wielomianu q(x) wynoszą 1, -3 i -4. Zatem q (x) = 0 będzie: x2 – 3x – 4 = 0
Rozwiążmy powyższe równanie, aby określić inne pierwiastki.
x2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 lub x = 4
Dlatego S = {-1, 3, 4}
Przykład 2. Napisz równanie algebraiczne stopnia minimalnego takie, że 2 jest pierwiastkiem podwójnym, a – 1 pierwiastkiem pojedynczym.
Rozwiązanie: Musimy:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Lub
Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna
Wielomiany - Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm
