Ilekroć słowo „algebraiczny” jest używane do wyrażenia liczbowego, oznacza to, że to wyrażenie ma co najmniej jedną nieznaną, czyli literę lub symbol używany do reprezentowania liczby nieznany. Tak więc ułamek algebraicznyz kolei to nic innego jak ułamek, który ma co najmniej jedną niewiadomą w mianownik (dół frakcji). Dlatego też uproszczenie ułamków algebraicznych opiera się na tych samych podstawach, co uproszczenie ułamków liczbowych.
Przykładami ułamków algebraicznych są:
1)
2x
4 lata
2)
4 lata2 – 9x2
2 lata + 3x
Upraszczanie ułamków algebraicznych
Uproszczenie ułamka algebraicznego ma takie same podstawy, jak uproszczenie ułamka liczbowego. Licznik i mianownik należy podzielić tą samą liczbą. Zwróć uwagę na przykład uproszczenia ułamka:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
Powyższy ułamek został uproszczony o 2, następnie o 3, a następnie o 5. Aby wesprzeć procedurę uproszczenie ułamków algebraicznych, przepiszemy pierwszy ułamek powyżej w formie rozłożonej na czynniki:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Zauważ, że liczby 2, 3 i 5 powtarzają się w liczniku i mianowniku i są to dokładnie te same liczby, o które uproszczono ułamek. W kontekście ułamki algebraiczne, procedura jest podobna, jak jest konieczne do rozłożenia na czynniki wielomianów występujących w liczniku i mianowniku. Następnie musimy ocenić, czy można niektóre z nich uprościć.
Przykłady
1) Uprość następujący ułamek algebraiczny:
4x2tak3
16xy6
Rozłóż na czynniki każdą z niewiadomych i liczb obecnych w ułamku:
4x2tak3
16xy6
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
Teraz wykonaj tyle dzieleń, ile to możliwe, tak jak wcześniej dla ułamka liczbowego: Liczby pojawiające się zarówno w liczniku, jak i mianowniku znikają, czyli są "skaleczenie". Można też napisać, że wynik każdego z tych uproszczeń wynosi 1. Zegarek:
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
x
2,2·y·y·y
x
4 lata3
2) Uprość następujący ułamek algebraiczny:
4 lata2 – 9x2
2 lata + 3x
Zauważ, że licznik tego the ułamek algebraiczny wpada w jeden z przypadków godnych uwagi produktów, czyli różnica dwóch kwadratów. Aby to uwzględnić, po prostu przepisz to w formie rozłożonej na czynniki. Następnie można „wyciąć” terminy występujące zarówno w mianowniku, jak i liczniku, jak w poprzednim przykładzie. Zegarek:
4 lata2 – 9x2
2 lata + 3x
= (2 lata + 3x) (2 lata - 3x)
2 lata + 3x
= 1·(2 lata – 3x)
= 2 lata + 3x
3) Uprość następujący ułamek algebraiczny:
2(y2 – 16x2)
ay + 4x
Jak poprzednio, rozłóż na czynniki wielomiany obecne w liczniku i mianowniku. Następnie wykonaj podziały, które są możliwe.
2(y2 – 16x2)
ay + 4x
= ··(y + 4x) (y - 4x)
a·(y + 4x)
Zwróć uwagę, że licznik został rozłożony na czynniki przy użyciu różnica dwóch kwadratów a mianownik został rozłożony przez czynnik wspólny. Ponadto termin a2 można zapisać jako iloczyn a·a. Na koniec wykonaj jak najwięcej dywizji. Mianowicie a o a i (y + 4x) o (y + 4x):
··(y + 4x) (y - 4x)
a·(y + 4x)
= 1,1·(r – 4x)
= y - 4x
Przypadki faktoryzacji mają ogromne znaczenie dla uproszczenia ułamków algebraicznych. Poniżej wymieniono najważniejsze przypadki i kilka stron, na których można je znaleźć bardziej szczegółowo.
Rozkład wyrażeń algebraicznych
Wielomian można zapisać w formie rozłożonej na czynniki, jeśli można go wyrazić w jednej z czterech poniższych form. Przedstawione wyniki są ich formą faktoringową lub przykładami ich rozłożenia na czynniki:
1 – Wspólny czynnik
Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu mają nieznaną lub pewną wspólną liczbę, można je udowodnić. Na przykład w wielomianu 4x2 + 2x możemy umieścić 2x w dowodach. Rezultatem będzie:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Zwróć uwagę, że podczas mnożenia wskazanego na drugim elemencie (po prawej stronie równości), wynikiem będzie dokładnie pierwszy członek (lewa strona równości), ze względu na własność rozdzielczą mnożenie.
2 – Grupowanie
W związku z poprzednim przypadkiem wielomian, który ma cztery wyrazy, można rozłożyć na czynniki przez grupowanie, łączenie wspólne terminy dwa po dwa, a później zostaną ponownie rozłożone na czynniki, jeśli wyniki pozostaną to możliwość. Na przykład 2x + bx + 2y + przez wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
2x + bx + 2y + by
x (2 + b) + y (2 + b)
Zauważ, że (2 + b) powtarza się w obu nowych terminach. Możemy więc to udowodnić:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 – Idealny trójmian kwadratowy
Za każdym razem, gdy wielomian jest idealnym trójmianem kwadratowym, zostanie zapisany jako odpowiednik jednego z następujących trzech wyrażeń ułożonych po lewej i na czerwono.
x2 + 2x + a2 = (x + a) (x + a)
x2 – 2x + a2 = (x-a)(x-a)
x2 -2 = (x + a) (x - a)
Prawa strona to rozłożony na czynniki kształt wielomianu, który można wykorzystać do uproszczenie ułamków algebraicznych.
4 – Suma lub różnica dwóch sześcianów
Za każdym razem, gdy wielomian ma następny kształt lub można do niego zapisać, będzie to suma dwóch sześcianów.
x3 + 3x2o + 3x2 +3 = (x + a)3
x3 – 3x2o + 3x2 -3 = (x-a)3
Ponownie, lewa strona, na czerwono, to wielomian, który można rozłożyć na czynniki i przepisać tak jak wyrażenia po prawej stronie.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm