A macierz jednostkowa jest szczególnym rodzajem siedziba. Znamy jako macierz tożsamości IN macierz kwadratowa rzędu n, która ma wszystkie wyrazy na przekątnej równe 1 i wyrazy nienależące do głównej przekątnej równe 0. Macierz tożsamości jest uważana za neutralny element mnożenia, to znaczy, jeśli mnożymy macierz M przez macierz tożsamości, w rezultacie znajdujemy samą macierz M.
Zobacz też: Co to jest wyznacznik macierzy?
Tematyka tego artykułu
- 1 - Podsumowanie macierzy tożsamości
-
2 - Co to jest macierz tożsamości?
- ? Typy macierzy tożsamości
- 3 - Własności macierzy tożsamości
- 4 - Mnożenie macierzy tożsamości
- 5 - Rozwiązane ćwiczenia z macierzy tożsamości
Podsumowanie macierzy tożsamości
Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, której elementy na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0.
Istnieją macierze tożsamości różnych rzędów. Reprezentujemy macierz tożsamości porządku N przez I N.
Macierz tożsamości jest neutralnym elementem mnożenia macierzy, czyli \( A\cdot I_n=A.\)
Iloczyn macierzy kwadratowej i jej macierzy odwrotnej jest macierzą tożsamości.
Co to jest macierz tożsamości?
Macierz tożsamości to a specjalny typ macierzy kwadratowej. Macierz kwadratowa nazywana jest macierzą tożsamości, jeśli wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a wszystkie pozostałe elementy są równe 0. Następnie w każdej macierzy tożsamości:
➝ Typy macierzy tożsamości
Istnieją macierze tożsamości różnych rzędów. kolejność N jest reprezentowany przez IN. Zobaczmy poniżej kilka macierzy innych rzędów.
Zamów 1 macierz tożsamości:
\(I_1=\lewo[1\prawo]\)
Zamów 2 matryce tożsamości:
\(I_2=\lewo[\początek{macierz}1&0\\0&1\\\koniec{macierz}\prawo]\)
Zamów 3 macierze tożsamości:
\(I_3=\left[\begin{macierz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{macierz}\right]\)
Zamów 4 matryce tożsamości:
\(I_4=\left[\begin{macierz}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{macierz}\right]\)
Zamów 5 macierzy tożsamości:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Kolejno możemy pisać macierze tożsamości różnych rzędów.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Właściwości macierzy tożsamości
Macierz tożsamości ma ważną właściwość, ponieważ jest neutralnym elementem mnożenia między macierzami. To znaczy że każda macierz pomnożona przez macierz tożsamości jest równa sobie. Zatem, biorąc pod uwagę macierz M rzędu N,mamy:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Inną ważną właściwością macierzy tożsamości jest to, że iloczyn macierzy kwadratowej i jej macierz odwrotna jest macierzą tożsamości. Biorąc pod uwagę macierz kwadratową M rzędu N, iloczyn M przez jego odwrotność jest określony wzorem:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Przeczytaj też: Co to jest macierz trójkątna?
Mnożenie macierzy tożsamości
Kiedy mnożymy macierz M przez macierz tożsamości rzędu N, w rezultacie otrzymujemy macierz M. Zobaczmy poniżej przykład iloczynu macierzy M rzędu 2 przez macierz tożsamości rzędu 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{macierz}\right) \) To jest \(I_n=\left(\begin{macierz}1&0\\0&1\\\end{macierz}\right)\)
Zakładając, że:
\(A\cdot I_n=B\)
Mamy:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{macierz}\right)\)
Zatem iloczyn A wg \(W\) To będzie:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Zauważ, że wyrazy macierzy B są identyczne z wyrazami macierzy A, czyli:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{macierz}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{macierz}\right]=A\)
Przykład:
Istnienie M Macierz \(M=\ \lewo[\begin{macierz}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\koniec{macierz}\prawo]\), oblicz iloczyn między macierzami M i macierz \(I_3\).
Rezolucja:
Wykonując mnożenie mamy:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{macierz}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ + \ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\ cdot 1\\\koniec {macierzy}\prawo]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{macierz}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{macierz}\right]\)
Rozwiązane ćwiczenia z macierzy tożsamości
Pytanie 1
Istnieje kwadratowa macierz rzędu 3, która jest zdefiniowana przez \(a_{ij}=1 \) Kiedy \(i=j\) To jest \(a_{ij}=0\) To jest Kiedy \(i\neq j\). Ta macierz jest jak:
A) \( \left[\begin{macierz}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{macierz}\right]\)
B) \( \left[\begin{macierz}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{macierz}\right]\)
W) \( \left[\begin{macierz}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{macierz}\right]\)
D) \( \left[\begin{macierz}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{macierz}\right]\)
I) \( \left[\begin{macierz}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{macierz}\right]\)
Rezolucja:
Alternatywa D
Analizując macierz mamy:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Zatem macierz jest równa:
\(\lewo[\początek{macierzy}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\koniec{macierzy}\prawo]\)
pytanie 2
(UEMG) Jeśli odwrotna macierz \(A=\left[\begin{macierz}2&3\\3&x\\\end{macierz}\right]\) é \( \left[\begin{macierz}5&-3\\-3&2\\\end{macierz}\right]\), wartość x wynosi:
5
B) 6
C) 7
D) 9
Rezolucja:
Alternatywa A
Mnożąc macierze, zdajemy sobie sprawę, że ich iloczyn jest równy macierzy tożsamości. Obliczając iloczyn drugiego rzędu macierzy przez pierwszą kolumnę jej odwrotności, mamy:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Czy chciałbyś odwołać się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Patrzeć:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Macierz jednostkowa"; Szkoła brazylijska. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Dostęp 20 lipca 2023 r.
Zrozumienie zastosowania matryc jest ważnym faktem, aby nie zostać w tyle na egzaminie wstępnym. Zastosowanie matryc na egzaminach wstępnych polega na powiązaniu kilku koncepcji matryc w jednym pytaniu.
Dowiedz się, jak obliczyć wyznaczniki macierzy kwadratowych rzędu 1, 2 i 3. Naucz się korzystać z reguły Sarrusa. Znać właściwości wyznaczników.
Zapoznaj się tutaj z definicjami i formalizacjami struktury macierzowej. Zobacz także, jak operować jego elementami i różnymi typami macierzy.
Kliknij tutaj i dowiedz się, czym jest macierz symetryczna. Poznaj jego właściwości i odkryj, czym różni się od macierzy antysymetrycznej.
Zrozumieć, czym jest macierz transpozycji. Znajomość właściwości transponowanej macierzy. Dowiedz się, jak znaleźć transponowaną macierz dla danej macierzy.
Naucz się obliczać mnożenie między dwiema macierzami, a także dowiedz się, czym jest macierz tożsamości, a czym jest macierz odwrotna.
Znaj regułę Cramera. Naucz się wykorzystywać regułę Cramera do znajdowania rozwiązań układu liniowego. Zobacz opracowane przykłady reguły Cramera.
Znasz regułę Sarrusa? Dowiedz się, jak korzystać z tej metody, aby znaleźć wyznacznik macierzy 3x3.
Wzdrygać się
Slang zaadaptowany z angielskiego jest używany do określenia kogoś, kto jest postrzegany jako tandetny, haniebny, przestarzały i niemodny.
Neuroróżnorodność
Termin ukuty przez Judy Singer, jest używany do opisania różnorodnych sposobów zachowania ludzkiego umysłu.
PL fałszywych wiadomości
Znany również jako PL2660, jest to ustawa ustanawiająca mechanizmy regulacji sieci społecznościowych w Brazylii.
