O objętość kuli to zajmowana przez to przestrzeń bryła geometryczna. Przez promień piłka — czyli z odległości środka od powierzchni — można obliczyć jego objętość.
Przeczytaj też: Objętość brył geometrycznych
Podsumowanie objętości kuli
Kula jest a okrągłe ciało uzyskany przez obrót półkola wokół osi zawierającej średnicę.
Wszystkie punkty na kuli znajdują się w odległości równej lub mniejszej niż r od środka kuli.
Objętość kuli zależy od miary promienia.
Wzór na objętość kuli to \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Lekcja wideo na temat objętości kuli
Co to jest sfera?
Rozważmy punkt O w przestrzeni i odcinek o mierze r. kula jest bryła utworzona przez wszystkie punkty, które znajdują się w odległości równej lub mniejszej niż r od O. Nazywamy O środkiem kuli, a r promieniem kuli.
kula można również scharakteryzować jako bryłę obrotową. Zauważ, że obracanie półkola wokół osi zawierającej jego średnicę tworzy kulę:
Formuła objętości kuli
Aby obliczyć objętość V kuli, używamy poniższego wzoru, gdzie r jest promieniem kuli:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Ważne jest, aby przestrzegać jednostka miary promień, aby określić jednostkę miary objętości. Na przykład, jeśli r jest podane w cm, to objętość musi być podana w cm³.
Jak obliczyć objętość kuli?
Obliczenie objętości kuli zależy tylko od pomiaru promienia. Spójrzmy na przykład.
Przykład: Korzystając z przybliżenia π = 3, znajdź objętość piłki do koszykówki o średnicy 24 centymetrów.
Ponieważ średnica jest dwa razy większa od promienia, r = 12 cm. Stosując wzór na objętość kuli mamy
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
regiony kuli
Rozważmy kulę o środku O i promieniu r. Lubię to, możemy rozważyć trzy regiony tej sfery:
Obszar wewnętrzny tworzą punkty, których odległość od środka jest mniejsza niż promień. Jeśli P należy do wewnętrznego obszaru kuli, to
\(D(P, O)
Obszar powierzchni tworzą punkty, których odległość od środka jest równa promieniowi. Jeśli P należy do obszaru powierzchni kuli, to
\(D(P, O)=r\)
Obszar zewnętrzny tworzą punkty, których odległość od środka jest większa niż promień. Jeśli P należy do wewnętrznego obszaru kuli, to
\(D(P, O)>r\)
W konsekwencji punkty na zewnętrznym obszarze kuli nie należą do kuli.
Wiedzieć więcej: Czapka sferyczna — bryła uzyskiwana przez przecięcie kuli przez płaszczyznę
Inne formuły kuli
A obszar kuli — czyli pomiar jego powierzchni — również ma znaną formułę. Jeśli r jest promieniem kuli, jej pole A jest obliczane według wzoru
\(A=4·π·r^2\)
W takim przypadku ważne jest również zanotowanie jednostki miary promienia, aby wskazać jednostkę miary powierzchni. Na przykład, jeśli r jest w cm, to A musi być w cm².
Rozwiązane ćwiczenia na objętość kuli
Pytanie 1
Jaki jest promień kuli o objętości 108 cm sześciennych? (Użyj π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Rezolucja
Alternatywa B.
Rozważ to R jest promieniem kuli. Wiedząc, że V = 108, możemy skorzystać ze wzoru na objętość kuli:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
pytanie 2
Starożytny kulisty zbiornik ma średnicę 20 metrów i objętość V1. Pożądana jest budowa drugiego zbiornika o objętości V2, o dwukrotnie większej objętości niż stary zbiornik. więc V2 jest taki sam jak
ten) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4}m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3}m^3\)
D) \(\frac{4000·π}{3}m^3\)
To jest) \(\frac{8000·π}{3}m^3\)
Rezolucja
Alternatywa E.
Ponieważ średnica jest dwa razy większa od promienia, stary zbiornik ma promień r = 10 metrów. Dlatego
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
przez oświadczenie, \(V_2=2·V_1\), tj
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm