dwusieczna i linia prostopadła do odcinka przecinającego jego środek. Możemy skonstruować dwusieczną prostopadłą odcinka za pomocą linijki i kompasu. Na trójkąt, dwusieczne to linie prostopadłe do boków, które zawierają ich punkty środkowe. Zatem trójkąt ma trzy prostopadłe dwusieczne. Punkt, w którym spotykają się te dwusieczne, nazywany jest środkiem okręgu opisanego i stanowi środek okręgu opisanego na trójkącie.
Przeczytaj też: Odległość między dwoma punktami — najkrótsza droga między dwoma punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej
Podsumowanie o dwusiecznej prostopadłej
Dwusieczna jest prosty prostopadle do odcinka przechodzącego przez środek.
Punkty dwusiecznej prostopadłej są w równej odległości od punktów końcowych odcinka.
Dwusieczną prostopadłą można zbudować za pomocą linijki i kompasu.
Równanie dwusiecznej prostopadłej można wyznaczyć na podstawie współrzędnych punktów końcowych odcinka.
Trójkąt ma trzy prostopadłe dwusieczne, po jednej z każdej strony.
Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta nazywa się środkiem okręgu opisanego. Ten punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
Dwusieczna trójkąta różni się od środkowej, dwusiecznej i wysokości trójkąta.
Co to jest mediatorka?
Biorąc pod uwagę odcinek, dwusieczna prostopadła jest linią prostopadłą do człon który przecina twoje punkt środkowy.
Ważną konsekwencją tej definicji jest to, że wszystkie punkty dwusiecznej prostopadłej znajdują się w tej samej odległości od punktów końcowych odcinka. W symbolice matematycznej, jeśli AB jest odcinkiem, a punkt P należy do dwusiecznej, to PA = PB.
Jak zbudować dwusieczną?
Aby skonstruować prostopadłą dwusieczną odcinka, potrzebujemy tylko linijki i kompasu. Etapy budowy są następujące:
Krok 1: Biorąc pod uwagę odcinek AB, otwórz kompas o długości większej niż połowa segmentu. Wskazówka: jedną z możliwości jest wykorzystanie długości samego segmentu.
Krok 2: narysuj jeden obwód ze środkiem na jednym końcu segmentu i promieniem z miarą wybraną w kroku 1.
Krok 3: Powtórz krok 2 dla drugiego końca segmentu.
Krok 4: Połącz punkty przecięcia okręgów z linijką.
Jak znaleźć równanie dwusiecznej?
Ponieważ dwusieczna prostopadła jest linią prostą, możemy wyznaczyć a równanie który opisuje twoje punkty, będąc R linia zawierająca segment AB rozdany, S dwusieczna tego odcinka i P (x, y) dowolnym punkcie dwusiecznej prostopadłej.
Zakładając, że współrzędne punktów A To jest B są znane, możemy otrzymać współczynnik kątowy N prostej R. Jak R To jest S są prostopadłe, nachylenie M prostej S (dwusieczna prostopadła) można również znaleźć, ponieważ jest przeciwieństwem multiplikatywnej odwrotności N. Korzystając z wyrażenia na podstawowe równanie linii, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), na czym \(M(x\_0,y\_0)\) jest środkiem AB, zakończyliśmy równanie dwusiecznej.
Przykład:
Wyznacz równanie dwusiecznej odcinka wyznaczonego przez punkty A(1,2) i B(3,6).
Rezolucja:
Najpierw zdobądźmy nachylenie N prostej R który zawiera segment AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Teraz szukamy środka odcinka M AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Pamiętaj, że dwusieczna prostopadła S poszukiwany jest prostopadły do prostej R (który zawiera segment AB). Następnie współczynnik kątowy M prostej S i współczynnik kątowy N prostej R są powiązane w następujący sposób:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Dlatego, \( m_s=\frac{-1}2\).
Na koniec używamy podstawowego równania linii do określenia dwusiecznej s, linii, której nachylenie jest równe \(-\frac{1}2\) i przechodzi przez punkt (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
dwusieczna trójkąta
Trzy boki trójkąta to odcinki linii. Zatem termin „dwusieczna trójkąta” odnosi się do dwusiecznej jednego z boków tej figury geometrycznej. Dlatego, trójkątma trzy dwusieczne. Zobacz poniżej:
Punkt, w którym przecinają się dwusieczne trójkąta, nazywa się środkiem okręgu opisanego., ponieważ jest to środek okręgu opisanego na trójkącie (czyli okręgu przechodzącym przez trzy wierzchołki trójkąta).
Ważny:Ponieważ środek okręgu opisanego jest punktem wspólnym dla trzech prostopadłych dwusiecznych, jego odległość od każdego z wierzchołków jest taka sama. W symbolice matematycznej, jeśli D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, Następnie \(AD=BD=CD\).
Różnice między dwusieczną, środkową, dwusieczną i wysokością trójkąta
Dwusieczna, środkowa, dwusieczna i wysokość trójkąta to różne pojęcia. Przyjrzyjmy się każdemu z osobna, a potem razem.
Dwusieczna trójkąta: jest linią prostopadłą do jednego z boków, która przecina jego środek.
Mediana trójkąta: jest segmentem, którego punkty końcowe znajdują się w wierzchołku trójkąta i w środku boku przeciwległego do wierzchołka.
Dwusieczna trójkąta: to odcinek dzielący na pół jeden z kąty boki trójkąta, z punktami końcowymi w jednym z wierzchołków i po przeciwnej stronie.
Wysokość trójkąta: jest odcinkiem prostopadłym do jednego z boków, którego koniec znajduje się pod kątem przeciwległym do boku.
Na poniższym obrazku zaznaczamy, w odniesieniu do odcinka BC trójkąta, wysokość (kropkowana kreska w kolorze pomarańczowym), dwusieczna (linia przerywana na fioletowo), środkowa (linia przerywana na zielono) i dwusieczna prostopadła (linia ciągła na czerwony).
Ważny: Na trójkąt równoboczny, to znaczy, że ma trzy boki i trzy kąty równe, dwusieczne, środkowe, dwusieczne i wysokości pokrywają się. W związku z tym znaczące punkty trójkąta ( środek okręgu, środek ciężkości, środek środka i środek ortocentrum ) również się pokrywają. Na poniższym obrazku zaznaczamy, w odniesieniu do odcinka BC, dwusieczną, medianę, dwusieczną i wysokość ciągłą czarną linią. Podświetlony punkt E jest zatem środkiem okręgu opisanego, środkiem ciężkości, środkiem i ortocentrum trójkąta ABC.
Zobacz też: Relacje metryczne we wpisany trójkąt równoboczny — czym one są?
Rozwiązane ćwiczenia na dwusiecznej
Pytanie 1
Rozważ poniższe stwierdzenia.
I. Dwusieczna trójkąta to odcinek, który zaczyna się w wierzchołku i przecina środek przeciwległego boku.
II. Punkt, w którym przecinają się dwusieczne trójkąta, nazywa się środkiem okręgu opisanego. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie i w równej odległości od wierzchołków.
III. Dwusieczna odcinka to prosta prostopadła przecinająca odcinek w punkcie środkowym.
Która alternatywa zawiera właściwą(e)?
A) Tylko ja.
B) II, tylko.
C) III, tylko.
D) I i II.
E) II i III.
Rezolucja:
Alternatywa E
Jedynym błędnym jest stwierdzenie I, które opisuje medianę trójkąta.
pytanie 2
(Enem — adaptacja) W ostatnich latach telewizja przeszła prawdziwą rewolucję pod względem jakości obrazu, dźwięku i interakcji z widzem. Ta transformacja jest spowodowana konwersją sygnału analogowego na sygnał cyfrowy. Jednak wiele miast nadal nie ma tej nowej technologii. Chcąc przynieść te korzyści trzem miastom, stacja telewizyjna zamierza zbudować nową wieżę transmisyjną, która wysyła sygnał do istniejących już w tych miastach anten A, B i C. Lokalizacje anten są reprezentowane na płaszczyźnie kartezjańskiej:
Wieża musi znajdować się w równej odległości od trzech anten. Odpowiednie miejsce do budowy tej wieży odpowiada punktowi o współrzędnych
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Rezolucja:
Alternatywa E
Zwróć uwagę, że lokalizacja wieży musi być środkiem okręgu opisanego na trójkącie utworzonym przez punkty A, B i C, ponieważ jest to równoodległe położenie trzech anten.
Współrzędne wieży T to\( (x_t, y_t )\). Ponieważ T należy do dwusiecznej AB (danej linią x = 50), poziome położenie wieży musi być \(x_t=50\).
Aby określić współrzędną poziomą \(y_t\) wieży, możemy dwukrotnie użyć wyrażenia na odległość między dwoma punktami. Ponieważ wieża jest równoodległa, na przykład od wierzchołków A i C (AT = CT), mamy:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t)^2}\)
Upraszczając, otrzymujemy \(y_t=30\).
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
