A obszar diamentów jest miarą jego wewnętrznego obszaru. Jeden ze sposobów obliczania pola rombu polega na określeniu połowy iloczynu między większą przekątną a mniejszą przekątną, której środki są reprezentowane przez D To jest D odpowiednio.
Przeczytaj też: Jak obliczyć pole kwadratu?
Podsumowanie dotyczące obszaru rombu
Romb to równoległobok, który ma cztery przystające boki i przeciwległe przystające kąty.
Dwie przekątne rombu są znane jako większa przekątna (D) i mniejsza przekątna (D).
Każda przekątna rombu dzieli ten wielokąt na dwa przystające trójkąty.
Dwie przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w swoich środkach.
Wzór na obliczenie pola rombu to:
\(A=\frac{D\razy d}{2}\)
elementy rombu
diament jest równoległobokiem utworzony przez cztery boki równej długości i przeciwne kąty tej samej miary. W rombie poniżej mamy \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\kapelusz{P}=\kapelusz{R}\) To jest \(\kapelusz{Q}=\kapelusz{S}\).
Segmenty zakończone przeciwległymi wierzchołkami są przekątnymi rombu. Na poniższym obrazku nazywamy segment
\(\overline{PR}\) W większa przekątna i segmentu \(\overline{QS}\) W mniejsza przekątna.
Własności diagonalne rombu
Poznajmy dwie własności związane z przekątnymi rombu.
Obiekt 1: Każda przekątna dzieli romb na dwa przystające trójkąty równoramienne.
Najpierw rozważ większą przekątną \(\overline{PR}\) rombu PQRS obok l.
sobie z tego sprawę \(\overline{PR}\) Podziel romb na dwa trójkąty: PQR To jest PSR. Już:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) to wspólna strona
Zatem według kryterium LLL trójkąty PQR To jest PSR są zgodne.
Rozważmy teraz mniejszą przekątną \(\overline{QS}\).
sobie z tego sprawę \(\overline{QS} \) Podziel romb na dwa trójkąty: PQS To jest RQS. Już:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) to wspólna strona
Zatem według kryterium LLL trójkąty PQS To jest RQS są zgodne.
Obiekt 2: Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie.
Kąt utworzony przez przekątne \(\overline{PR}\) To jest \(\overline{QS}\) mierzy 90°.
To jestO punkt spotkania przekątnych \(\overline{{PR}}\) To jest \(\overline{{QS}}\); lubię to, O jest środkiem \(\overline{PR}\) i jest również środkiem \(\overline{QS}\). Jeśli \( \overline{PR}\)daj mi D To jest \(\overline{QS}\) daj mi D, To znaczy że:
\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Obserwacja: Dwie przekątne rombu dzielą tę figurę na cztery przystające trójkąty prostokątne. rozważ trójkąty PQO, RQO, PSO To jest RSO. Zauważ, że każdy ma stronę pomiarową. l (przeciwprostokątna), jedna miara \(\frac{D}{2}\) i kolejny środek \(\frac{d}{2}\).
Zobacz też: Porównanie i podobieństwo między trójkątami
wzór na pole rombu
To jest D długość większej przekątnej i D miara mniejszej przekątnej rombu; Wzór na pole rombu to:
\(A=\frac{D\razy d}{2}\)
Poniżej znajduje się demonstracja tej formuły.
Zgodnie z pierwszą właściwością, którą badaliśmy w tym tekście, przekątną \(\overline{QS}\) podzielić diament PQRS na dwa przystające trójkąty (PQS To jest RQS). Oznacza to, że te dwa trójkąty mają to samo pole. W konsekwencji, powierzchnia rombu jest dwa razy większa od powierzchni jednego z tych trójkątów.
\(A_{\mathrm{diament}}=2\razy A_{trójkąt} PQS\)
Zgodnie z drugą właściwością, którą badaliśmy, podstawą trójkąta PQS daj mi D i miary wzrostu D2. Pamiętaj, że pole trójkąta można obliczyć na podstawie podstawy × wysokości2. Wkrótce:
\(A_{\mathrm{diament}}=2\razy A_{trójkąt} PQS\)
\(A_{\mathrm{diament}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diament}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{D\razy d}{2}\)
Jak obliczyć powierzchnię rombu?
Jak widzieliśmy, jeśli miary przekątnych są poinformowane, to wystarczy zastosuj wzór do obliczenia pola rombu:
\(A=\frac{D\razy d}{2}\)
W przeciwnym razie musimy przyjąć inne strategie, biorąc pod uwagę np. właściwości tego wielokąta.
Przykład 1: Jakie jest pole rombu, którego przekątne mają 2 cm i 3 cm?
Stosując wzór mamy:
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{D\razy d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=3 cm²\)
Przykład 2: Jaki jest obszar rombu, którego bok i mniejsza przekątna mają odpowiednio miarę 13 cm i 4 cm?
Obserwując właściwość 2, przekątne rombu dzielą ten wielokąt na cztery trójkąty prostokątne przystający, zgodny. Każdy trójkąt prostokątny ma nogi miary \(\frac{d}{2}\) To jest \(\frac{D}{2}\) i zmierzyć przeciwprostokątną l. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
zastąpienie \(d=4cm\) To jest d=4 cm, musimy
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
Jak D jest miarą odcinka, możemy brać pod uwagę tylko wynik dodatni. Tj:
D=6
Stosując wzór mamy:
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{D\razy d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\ 12 cm²\)
Wiedzieć więcej: Wzory używane do obliczania powierzchni figur płaskich
Ćwiczenia na polu rombu
Pytanie 1
(Fauel) W rombie przekątne mają długość 13 i 16 cm. Jaka jest miara twojego obszaru?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Rezolucja: alternatywa C
Stosując wzór mamy:
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{D\razy d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\ 104 cm²\)
pytanie 2
(Fepese) Fabryka produkuje elementy ceramiczne w kształcie rombu, którego mniejsza przekątna ma ćwierć długości większej, a większa 84 cm.
Dlatego powierzchnia każdego elementu ceramicznego wyprodukowanego przez tę fabrykę, w metrach kwadratowych, wynosi:
a) większy niż 0,5.
b) większa niż 0,2 i mniejsza niż 0,5.
c) większa niż 0,09 i mniejsza niż 0,2.
d) większa niż 0,07 i mniejsza niż 0,09.
e) mniej niż 0,07.
Rezolucja: alternatywa D
Jeśli D jest większą przekątną i D jest mniejszą przekątną, to:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21cm\)
Stosując formułę mamy
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{D\razy d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diament}}=882 cm²\)
Jak odpowiada 1 cm² \(1\cdot{10}^{-4} m²\), Następnie:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 m²\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm