O odchylenie standardowe jest miarą dyspersji, podobnie jak wariancja i współczynnik zmienności. Przy wyznaczaniu odchylenia standardowego możemy ustalić przedział wokół średniej arytmetycznej (podział między sumą liczb na liście a liczbą dodanych liczb), gdzie koncentruje się większość danych. Im większa wartość odchylenia standardowego, tym większa zmienność danych, czyli większe odchylenie od średniej arytmetycznej.
Przeczytaj też: Tryb, średnia i mediana — główne miary tendencji centralnych
Podsumowanie odchylenia standardowego
- Odchylenie standardowe jest miarą zmienności.
- Notacja odchylenia standardowego to mała grecka litera sigma (σ) lub litera s.
- Odchylenie standardowe służy do weryfikacji zmienności danych wokół średniej.
- Odchylenie standardowe określa zakres \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), gdzie znajduje się większość danych.
- Aby obliczyć odchylenie standardowe, musimy znaleźć pierwiastek kwadratowy z wariancji:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Co to jest odchylenie standardowe?
Odchylenie standardowe to A miara rozproszenia przyjęta w statystyce. Jego użycie jest związane z interpretacja wariancji, która jest również miarą dyspersji.
W praktyce odchylenie standardowe określa przedział wyśrodkowany na średniej arytmetycznej, w którym koncentruje się większość danych. Zatem im większa wartość odchylenia standardowego, tym większa nieregularność danych (więcej informacji heterogeniczne), a im mniejsza wartość odchylenia standardowego, tym mniejsza nieregularność danych (więcej informacji jednorodny).
Jak obliczyć odchylenie standardowe?
Aby obliczyć odchylenie standardowe zbioru danych, musimy znaleźć pierwiastek kwadratowy z wariancji. Tak więc wzór na obliczenie odchylenia standardowego to
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldkropki, x_N\) → zaangażowane dane.
- μ → średnia arytmetyczna danych.
- N → ilość danych.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\lewo (x_3-\mu\prawo)^2+...+\lewo (x_N-\mu\prawo)^2 \)
Ostatnia pozycja, która odnosi się do licznika pierwiastka, wskazuje sumę kwadratów różnicy między każdym punktem danych a średnią arytmetyczną. proszę to zanotować jednostka miary odchylenia standardowego jest tą samą jednostką miary co dane X1,X2,X3,…,XNIE.
Chociaż spisanie tej formuły jest nieco skomplikowane, jej zastosowanie jest prostsze i bardziej bezpośrednie. Poniżej znajduje się przykład użycia tego wyrażenia do obliczenia odchylenia standardowego.
- Przykład:
Przez dwa tygodnie w mieście notowano następujące temperatury:
Dzień powszedni |
Niedziela |
Drugi |
Trzeci |
Czwarty |
Piąty |
Piątek |
Sobota |
tydzień 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
tydzień 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
W którym z dwóch tygodni temperatura w tym mieście utrzymywała się na stałym poziomie?
Rezolucja:
Aby przeanalizować regularność temperatur, musimy porównać odchylenia standardowe temperatur zarejestrowanych w tygodniach 1 i 2.
- Najpierw spójrzmy na odchylenie standardowe dla tygodnia 1:
Zauważ, że średnia μ1 To jest NIE1 oni są
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\około29,57\)
\(N_1=7 \) (7 dni w tygodniu)
Musimy również obliczyć kwadrat różnicy między każdą temperaturą a średnią temperaturą.
\(\lewo (29-29,57\prawo)^2=0,3249\)
\(\lewo (30-29,57\prawo)^2=0,1849\)
\(\lewo (31-29,57\prawo)^2=2,0449\)
\(\lewo (31,5-29,57\prawo)^2=3,7249\)
\(\lewo (28-29,57\prawo)^2=2,4649\)
\(\lewo (28,5-29,57\prawo)^2=1,1449\)
\(\lewo (29-29,57\prawo)^2=0,3249\)
Dodając wyniki, mamy, że licznik pierwiastka we wzorze na odchylenie standardowe wynosi
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Więc odchylenie standardowe tygodnia 1 wynosi
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \około1,208\ °C\)
Uwaga: Ten wynik oznacza, że większość temperatur z tygodnia 1 mieści się w przedziale [28,36°C, 30,77°C], czyli w przedziale \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Teraz spójrzmy na odchylenie standardowe w drugim tygodniu:
Kierując się tym samym rozumowaniem, mamy
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\lewo (28,5-28,5\prawo)^2=0\)
\(\lewo (27-28,5\prawo)^2=2,25\)
\(\lewo (28-28,5\prawo)^2=0,25\)
\(\lewo (29-28,5\prawo)^2=0,25\)
\(\lewo (30-28,5\prawo)^2=2,25\)
\(\lewo (28-28,5\prawo)^2=0,25\)
\(\lewo (29-28,5\prawo)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Więc odchylenie standardowe z 2 tygodnia wynosi
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \około0,89\ °C\)
Wynik ten oznacza, że większość temperatur w drugim tygodniu mieści się w zakresie \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\)czyli zasięg \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
sobie z tego sprawę \(\sigma_2, to znaczy odchylenie standardowe z tygodnia 2 jest mniejsze niż odchylenie standardowe z tygodnia 1. Dlatego tydzień 2 prezentował bardziej regularne temperatury niż tydzień 1.
Jakie są rodzaje odchylenia standardowego?
Rodzaje odchylenia standardowego są związane z typem organizacji danych. W poprzednim przykładzie pracowaliśmy z odchyleniem standardowym danych niezgrupowanych. Aby obliczyć odchylenie standardowe zestawu inaczej uporządkowanych danych (na przykład danych zgrupowanych), należy dostosować formułę.
Jakie są różnice między odchyleniem standardowym a wariancją?
odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Podczas używania wariancji do określenia zmienności zbioru danych, wynik ma kwadratową jednostkę danych, co utrudnia jego analizę. Zatem odchylenie standardowe, które ma tę samą jednostkę co dane, jest możliwym narzędziem do interpretacji wyniku wariancji.
Wiedzieć więcej:Częstotliwość bezwzględna — liczba wystąpień tej samej odpowiedzi podczas zbierania danych
Rozwiązane ćwiczenia na odchylenie standardowe
Pytanie 1
(FGV) W klasie 10 uczniów oceny uczniów w ocenie były następujące:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Odchylenie standardowe tej listy wynosi około
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Rezolucja:
Alternatywa C.
Zgodnie z oświadczeniem, N = 10. Średnia z tej listy to
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Ponadto,
\(\lewo (6-8\prawo)^2=4\)
\(\lewo (7-8\prawo)^2=1\)
\(\lewo (8-8\prawo)^2=0\)
\(\lewo (9-8\prawo)^2=1\)
\(\lewo (10-8\prawo)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Więc odchylenie standardowe tej listy wynosi
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\około1.1\)
pytanie 2
Rozważ poniższe stwierdzenia i oceń każde z nich jako P (prawda) lub F (fałsz).
I. Pierwiastek kwadratowy z wariancji to odchylenie standardowe.
II. Odchylenie standardowe nie ma związku ze średnią arytmetyczną.
III. Wariancja i odchylenie standardowe to przykłady miar dyspersji.
Prawidłowa kolejność, od góry do dołu, to
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Rezolucja:
Alternatywa E.
I. Pierwiastek kwadratowy z wariancji to odchylenie standardowe. (PRAWDA)
II. Odchylenie standardowe nie ma związku ze średnią arytmetyczną. (FAŁSZ)
Odchylenie standardowe wskazuje przedział wokół średniej arytmetycznej, w którym mieści się większość danych.
III. Wariancja i odchylenie standardowe to przykłady miar dyspersji. (PRAWDA)
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
