TEN Twierdzenie o dwusiecznej wewnętrznej zostało opracowane specjalnie dla trójkąty i pokazuje, że kiedy prześledzimy wewnętrzną dwusieczną kąta trójkąta, miejsce spotkania dwusiecznej ze stroną przeciwną dzieli ten bok na Segmenty linii proporcjonalna do sąsiednich boków tego kąta. Z zastosowaniem twierdzenia o dwusiecznej wewnętrznej możliwe jest określenie wartości boku lub odcinków trójkąta na podstawie proporcji między nimi.
Zobacz też: Mediana, dwusieczna kąta i wysokość trójkąta — jaka jest różnica?
Podsumowanie twierdzenia o dwusiecznej wewnętrznej:
Dwusieczna jest promień który dzieli kąt na dwa przystające kąty.
Twierdzenie o wewnętrznej dwusiecznej jest specyficzne dla trójkątów.
Twierdzenie to dowodzi, że dwusieczna dzieli przeciwną stronę na segmenty proporcjonalne do boków przylegających do kąt.
Lekcja wideo na temat twierdzenia o wewnętrznej dwusiecznej
Co to jest twierdzenie o dwusiecznej?
Zanim zrozumiemy, co mówi twierdzenie o wewnętrznej dwusiecznej, ważne jest, aby wiedzieć, co to jest
dwusieczna kąta. Jest to promień, który dzieli kąt na dwie przystające części., czyli dwie części, które mają tę samą miarę.
Rozumiejąc, czym jest dwusieczna, zauważamy, że istnieje pod kątem wewnętrznym trójkąta. Kiedy nakreślimy dwusieczną kąta trójkąta, podzieli on przeciwną stronę na dwa segmenty. Jeśli chodzi o wewnętrzną dwusieczną, jego twierdzenie mówi, że dwa odcinki przez niego podzielone są proporcjonalne do sąsiednich boków kąta.
Zauważ, że dwusieczna dzieli boczny AC na dwa segmenty, AD i DC. Twierdzenie o dwusiecznej pokazuje, że:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Wiedzieć więcej: Twierdzenie Pitagorasa — kolejne twierdzenie opracowane dla trójkątów
Dowód twierdzenia o dwusiecznej wewnętrznej
W trójkącie ABC poniżej wyznaczymy odcinek BD, który jest dwusieczną tego trójkąta. Ponadto prześledzimy przedłużenie bocznej CB i odcinka AE równolegle do BD:
Kąt AEB jest zgodny z kątem DBC, ponieważ CE jest prosty poprzecznie do równoległych segmentów AE i BD.
stosując Twierdzenie Talesa, doszliśmy do wniosku, że:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Teraz my pozostaje wykazać, że BE = AB.
Ponieważ x jest miarą kąta ABD i DBC, analizując kąt ABE otrzymujemy:
ABE = 180 - 2x
Jeśli y jest miarą kąta EAB, mamy następującą sytuację:
Wiemy, że suma kątów wewnętrznych trójkąta ABE wynosi 180°, więc możemy obliczyć:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Jeśli kąt x i kąt y mają tę samą miarę, trójkąt ABE to równoramienny. Dlatego strona AB = AE.
Ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze równa 180°, w trójkącie ACE mamy:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ponieważ y = x, trójkąt ACE jest równoramienny. Dlatego segmenty AE i AC są przystające. Zamiana AE na AC in powódudowodniono, że:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Przykład:
Znajdź wartość x w następującym trójkącie:
Analizując trójkąt otrzymujemy następujący stosunek:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Mnożenie krzyżowe:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Przeczytaj też: Godne uwagi punkty trójkąta — czym one są?
Rozwiązane ćwiczenia z twierdzenia o dwusiecznej wewnętrznej
Pytanie 1
Patrząc na poniższy trójkąt, możemy powiedzieć, że wartość x to:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Rezolucja:
Alternatywa D
Stosując twierdzenie o dwusiecznej wewnętrznej, otrzymujemy następujące obliczenie:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Mnożenie krzyżowe:
\(27x=18\ \lewo (30-x\prawo)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
pytanie 2
Przeanalizuj następujący trójkąt, wiedząc, że Twoje wymiary zostały podane w centymetrach.
Obwód trójkąta ABC jest równy:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Rezolucja:
Alternatywa C
Stosując twierdzenie o dwusiecznej, najpierw znajdziemy wartość x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \lewo (4x-9\prawo)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Tak więc nieznane strony mierzą:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Pamiętając, że długość pomiarowa użyto cm, the obwód tego trójkąta jest równa:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm