Sześciokąt to jest wielokąt który ma 6 stron. Jest regularna, gdy wszystkie boki i kąty wewnętrzne są ze sobą zgodne. Jest nieregularny, gdy nie ma tych cech. Pierwszy przypadek jest najszerzej zbadany, ponieważ gdy sześciokąt jest regularny, ma określone właściwości i wzory, które pozwalają nam obliczyć jego powierzchnię, obwód i apotem.
Przeczytaj też: Co to jest losangle?
Streszczenie dotyczące sześciokąta
Sześciokąt to sześcioboczny wielokąt.
Jest to normalne, gdy wszystkie strony są zgodne.
Jest nieregularny, gdy wszystkie strony nie są przystające.
W foremnym sześciokącie każdy kąt wewnętrzny wynosi 120°.
Suma kąty zewnętrzne krawędzie sześciokąta foremnego to zawsze 360°.
Aby obliczyć powierzchnię sześciokąta foremnego, posługujemy się wzorem:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O obwód sześciokąta to suma jego boków. Kiedy jest regularny, mamy:
P = 6L
Apotem foremnego sześciokąta oblicza się według wzoru:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Co to jest sześciokąt?
Sześciokąt to dowolny wielokąt, który ma 6 boków, stąd 6 wierzchołków i 6 kątów
. Ponieważ jest wielokątem, jest to zamknięta płaska figura, której boki się nie przecinają. Sześciokąt ma w naturze powtarzalny kształt, podobnie jak w plastrach miodu, w strukturach Chemia organiczna, w muszlach niektórych żółwi i w płatkach śniegu.Lekcja wideo o wielokątach
elementy sześciokątne
Sześciokąt składa się z 6 boków, 6 wierzchołków i 6 kątów wewnętrznych.
Wierzchołki: punkty A, B, C, D, E, F.
boki: segmenty \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Kąty wewnętrzne: kąty a, b, c, d, f.
Klasyfikacja sześciokątów
Sześciokąty, podobnie jak inne wielokąty, można klasyfikować na dwa sposoby.
regularny sześciokąt
Sześciokąt jest regularny, gdy ma wszystkie jego przystające strony — w konsekwencji ich kąty również będą przystające. Sześciokąt foremny jest najważniejszy ze wszystkich, ponieważ jest najczęściej badany. Możliwe jest obliczenie kilku jego aspektów, takich jak powierzchnia, za pomocą określonych wzorów.
Obserwacja: Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkąty równoboczne, czyli trójkąty o równych wszystkich bokach.
→ nieregularny sześciokąt
Sześciokąt nieregularny to taki, który ma strony z różnymi środkami. Może być wypukła lub niewypukła.
wypukły nieregularny sześciokąt
sześciokąt to wypukły kiedy masz wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze niż 180°.
→ Nieregularny sześciokąt niewypukły
Sześciokąt nie jest wypukły, gdy ma kąty wewnętrzne większe niż 180°.
właściwości sześciokątne
→ Liczba przekątnych w sześciokącie
Pierwszą ważną właściwością jest to, że w sześciokącie wypukłym jest zawsze 9 przekątnych. Możemy znaleźć te 9 przekątnych geometrycznie:
Możemy również znaleźć przekątne algebraicznie, korzystając z następującego wzoru:
\(d=\frac{n\lewo (n-3\prawo)}{2}\)
Jeśli podstawimy 6 do równania, otrzymamy:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Tak więc sześciokąt wypukły zawsze będzie miał 9 przekątnych.
Wiedzieć więcej: Przekątna bloku prostokątnego — odcinek łączący dwa z jego wierzchołków, które nie znajdują się na tej samej powierzchni
→ Kąty wewnętrzne sześciokąta
W sześciokącie, suma kątów wewnętrznych wynosi 720°. Aby wykonać tę sumę, po prostu podstaw 6 we wzorze:
\(S_i=180\lewo (n-2\prawo)\)
\(S_i=180\lewo (6-2\prawo)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
W regularnym sześciokącie kąty wewnętrzne zawsze będą mierzyć 120°, ponieważ
720°: 6 = 120°
→ Kąty zewnętrzne sześciokąta foremnego
Jeśli chodzi o kąty zewnętrzne, wiemy, że Ich suma jest zawsze równa 360°. Ponieważ istnieje 6 kątów zewnętrznych, każdy z nich będzie mierzył 60°, ponieważ
360°: 6 = 60°
→ Apotem regularnego sześciokąta
Za twierdzenie wielokąta foremnego uważa sięodcinek łączenie środka wielokąta z punkt środkowy po twojej stronie. Jak wiemy, sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, więc apotem odpowiada wysokości jednego z tych trójkątów równobocznych. Wartość tego segmentu można obliczyć ze wzoru:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ obwód sześciokąta
Aby obliczyć obwód sześciokąta, po prostu wykonaj suma jego 6 stron. Gdy sześciokąt jest regularny, jego boki są przystające, więc obwód sześciokąta można obliczyć za pomocą wzoru:
P = 6L
→ regularny obszar sześciokąta
Ponieważ wiemy, że sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o bokach mierzących L, można wyprowadzić wzór na obliczenie jego pola, korzystając z obliczenia powierzchnia jednego trójkąt równoboczny pomnożony przez 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Zwróć uwagę, że możliwe jest uproszczenie dzielenie przez 2, a następnie generowanie wzoru na obliczenie powierzchni sześciokąta:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Sześciokąt wpisany w okrąg
Mówimy, że wielokąt jest wpisany w a obwód kiedy on znajduje się wewnątrz okręgu, a jego wierzchołki są punktami tego. Możemy przedstawić sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Kiedy robimy tę reprezentację, można zweryfikować, że długość promienia okręgu jest równa długości boku sześciokąta.
Wiedz również: Koło i obwód — jaka jest różnica?
Sześciokąt wpisany w okrąg
Mówimy, że wielokąt jest otoczony okręgiem, gdy obwód znajduje się wewnątrz tego wielokąta. Możemy przedstawić opisany sześciokąt foremny. W tym przypadku okrąg jest styczny do środka każdego boku sześciokąta, co sprawia, że promień okręgu jest równy apotemowi sześciokąta.
sześciokątny pryzmat
TEN Geometria samolotu jest podstawą studiów nad Geometria przestrzenna. O sześciokąt może występować u podstawy brył geometrycznych, jak w pryzmatach.
Aby znaleźć głośność pryzmat, obliczamy iloczyn powierzchni podstawy i wysokości. Ponieważ jego podstawą jest sześciokąt, jego Tom można obliczyć za pomocą:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Przeczytaj też: Objętość brył geometrycznych — jak obliczyć?
Sześciokątna piramida podstawowa
Oprócz graniastosłupa sześciokątnego, są też piramidy sześciokątna podstawa.
odkryć objętość piramidy sześciokątnej podstawy obliczamy iloczyn powierzchni podstawy, wysokości i dzielimy przez 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Zauważ, że mnożymy i dzielimy przez trzy, co pozwala na a uproszczenie. Tak więc objętość piramidy o podstawie sześciokątnej oblicza się według wzoru:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Rozwiązane ćwiczenia na sześciokąt
Pytanie 1
Kraina ma kształt regularnego sześciokąta. Chcesz otoczyć ten obszar drutem kolczastym, aby drut okrążył teren 3 razy. Wiedząc, że w sumie 810 metrów drutu zostało zużytych, aby otoczyć cały teren, powierzchnia tego sześciokąta wynosi w przybliżeniu:
(Stosowanie \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Rezolucja:
Alternatywa B
Obwód sześciokąta foremnego to
\(P=6L\)
Po przejechaniu 3 okrążeń na ukończenie jednego okrążenia wydano łącznie 270 metrów, ponieważ wiemy, że:
810: 3 = 270
Więc mamy:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metrów\)
Znając długość boku obliczymy powierzchnię:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Zaokrąglając, otrzymujemy:
\(A\ok.5164m^2\)
pytanie 2
(PUC - RS) W przypadku przekładni mechanicznej chcesz wykonać część o regularnym sześciokątnym kształcie. Odległość między równoległymi bokami wynosi 1 cm, jak pokazano na poniższym rysunku. Bok tego sześciokąta mierzy ______ cm.
TEN) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Rezolucja:
Alternatywa B
Jeśli chodzi o sześciokąt foremny, wiemy, że jego apotemem jest miara od środka do środka jednego z boków. Zatem apotem znajduje się w połowie odległości wskazanej na obrazku. Musimy więc:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotem jest wtedy równy \(\frac{1}{2}\). Istnieje zależność między bokami sześciokąta a apotemem, ponieważ w sześciokącie foremnym mamy:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Ponieważ znamy wartość apotemu, możemy zastąpić \(a=\frac{1}{2}\) w równaniu:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racjonalizacja ułamka:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
