Dziedzina, zakres i zakres to zbiory liczbowe powiązane funkcjami matematycznymi. Przekształcają one wartości poprzez ich prawa tworzenia i przenoszą je ze zbioru wyjściowego, dziedziny, do zbioru przybycia, zakresu.
Ze zbioru domen pochodzą wartości, które zostaną przekształcone przez formułę funkcji, czyli prawo formacji. Następnie wartości te trafiają do kodomeny.
Podzbiór utworzony przez elementy przychodzące do przeciwdomeny nazywany jest zestawem obrazów.
W ten sposób dziedzina, zakres i zakres są zbiorami niepustymi i mogą być skończone lub nieskończone.
W badaniu funkcji konieczne jest określenie, które elementy lub jaki jest zakres tych zbiorów. Na przykład: zbiór liczb naturalnych lub zbiór liczb rzeczywistych.
Biorąc pod uwagę dziedzinę A, w której każdy należący do niej element x jest przekształcany przez funkcję w element y należący do zakresu B, każdy element y jest nazywany obrazem x.
Do wyznaczenia dziedziny i zakresu funkcji stosuje się notację:
(czytamy f od A do B)
Te prawa transformacji są wyrażeniami obejmującymi operacje i wartości liczbowe.
Przykład
Funkcja f: A→B określona przez prawo formacji f(x) = 2x, gdzie jej dziedziną jest zbiór A={1, 2, 3} a zakres B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, mogą być reprezentowane przez wartości w tabeli i schematy:
|
Domena x |
f(x) = 2x |
Obraz oraz |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organizowanie wyników tabeli w diagramy:
Domena
Domena D funkcji f jest zbiorem wyjściowym składającym się z elementów x zastosowanych do funkcji.
Geometrycznie w płaszczyźnie kartezjańskiej elementy domeny tworzą oś x odciętej.
w notacji domena jest reprezentowana przez literę przed strzałką.
Każdy element x w domenie ma co najmniej jeden obraz y w przeciwdomenie.
współdomena
Domena CD to zestaw przychodzący. w notacji jest przedstawiony po prawej stronie strzałki.
Obraz
Image Im jest podzbiorem zakresu utworzonym przez elementy y, które opuszczają funkcję i docierają do zakresu, który może mieć taką samą liczbę elementów lub mniejszą liczbę.
W ten sposób zbiór obrazów funkcji f jest zawarty w kodziedzinie.
Geometrycznie w płaszczyźnie kartezjańskiej elementy zbioru obrazów tworzą oś y rzędnych.
Powszechnie mówi się, że y jest wartością przyjmowaną przez funkcję f(x) i w ten sposób piszemy:
Możliwe, że ten sam element y jest obrazem więcej niż jednego elementu x w domenie.
Przykład
w działaniu określone przez prawo
, dla symetrycznych wartości x domeny, mamy pojedynczy obraz y.
dowiedz się więcej o Funkcje.
Ćwiczenia dotyczące domeny, współdomeny i wizerunku
Ćwiczenie 1
Mając zbiory A = {8, 12, 13, 20, 23} i B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, wyznacz: dziedzinę, zakres i zakres Funkcje.
a) f: A → B zdefiniowane przez f (x) = 2x + 1
b) f: A → B zdefiniowane przez f (x) = 3x - 14
a) f: A → B zdefiniowane przez f (x) = 2x + 1
Domena A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domena B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Obraz Im (f) = {17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | ja (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B zdefiniowane przez f (x) = 3x - 14
Domena A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domena B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Obraz Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | ja (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Ćwiczenie 2
Określ dziedzinę funkcji zdefiniowanych przez:
Domena to zbiór możliwych wartości, jakie może przyjąć x.
a) Wiemy, że dzielenie przez zero nie jest możliwe, więc mianownik musi być różny od zera.
Czytamy: x należy do liczb rzeczywistych takich, że x jest różne od 2.
b) Nie ma pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Dlatego radicand musi być większy lub równy zero.
Czytamy: x należy do liczb rzeczywistych takich, że x jest większe lub równe 5.
Ćwiczenie 3
Biorąc pod uwagę funkcję z dziedziną w zbiorze liczb całkowitych jaki jest zbiór obrazów f(x) ?
Zbiór Z liczb całkowitych dopuszcza zarówno liczby ujemne, jak i dodatnie, w których dwie kolejne liczby są oddalone od siebie o 1 jednostkę.
W ten sposób funkcja dopuszcza wartości dodatnie i ujemne. Ponieważ jednak x jest kwadratem, każda wartość, nawet ujemna, zwróci wartość dodatnią.
Przykład
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
W ten sposób na obrazie pojawią się tylko liczby naturalne.
Możesz być zainteresowany:
- funkcja wtrysku
- Funkcja suriektywna
- Funkcja bijekcji
- Funkcja odwrotna
- Funkcja kompozytowa
Aplikacje i ciekawostki
Funkcje mają zastosowanie w badaniu każdego zjawiska, w którym jeden parametr zależy od drugiego. Jak na przykład prędkość mebla w czasie, działanie leku o właściwościach kwasowości w żołądku, temperatura kotła z ilością paliwa.
Funkcje są obecne w rzeczywistych zjawiskach i dlatego mają zastosowanie we wszystkich badaniach naukowych i inżynierskich.
Badanie funkcji nie jest nowe, niektóre zapisy w starożytności w tablicach babilońskich pokazują, że były one już częścią matematyki. Z biegiem lat notacja, sposób, w jaki są pisane, otrzymywała wkład od kilku matematyków i ulepszana, dopóki nie używamy ich dzisiaj.
