Dwumian Newtona czy dowolny dwumian podniesiony do liczby Nie na czym? Nie to liczba naturalna. Dzięki studiom fizyka Izaak Newton o potęgach dwumianów było to możliwe sprawdź prawidłowości ułatwiające reprezentację wielomianu generowane z potęgi dwumianu.
Obserwując te prawidłowości, również stało się to możliwe znajdź tylko jeden z warunków wielomian, bez konieczności obliczania tego wszystkiego, korzystając ze wzoru ogólnego członu dwumianu. Ponadto Newton zauważył związek między analiza kombinatorycznaa i dwumiany Newtona, co sprawiło, że Trójkąt Pascala świetne narzędzie do bardziej praktycznego opracowania dwumianu Newtona.
Przeczytaj też: Urządzenie Briota-Ruffini - metoda dzielenia wielomianów
Definicja dwumianu Newtona
Definiujemy jako dwumianowywielomian, który ma dwa wyrazy. W niektórych zastosowaniach w matematyce i fizyce konieczne jest obliczenie potęg dwumianu. Aby ułatwić proces, Isaac Newton zauważył ważne prawidłowości które pozwalają nam znaleźć wielomian wynikający z potęgi dwumianu.
W niektórych przypadkach obliczenia są dość proste: po prostu wykonaj perform mnożenie dwumianu przez siebie przy użyciu własności rozdzielności. Do potencji rzędu 3 rozwijamy się bez większego wysiłku, ponieważ są one dobrze znane godne uwagi produkty, ale dla wyższych potęg oblicz z mnożenia samego wyrazu Nie czasami to dużo pracy.
Przykłady
Pamiętaj, że każda liczba podniesiona do zera jest równa 1 i że każda liczba podniesiona do 1 jest sobą, co dotyczy również dwumianów.
Newton zauważył związek między współczynnikami każdego z terminów a kombinacją, co pozwoliło na obliczenie potęgi dwumianu bardziej bezpośrednio z następującego wzoru:
Zrozumienie formuły:
Najpierw spójrzmy na dosłowną część każdego terminu, którą jest litera wraz z jej wykładnikiem. Zauważ, że dla każdego terminu wykładnik “a” malało, zaczynając od n, potem przechodząc do n – 1 i tak dalej, aż do przedostatnim semestrze osiągnęło 1 i 0 w ostatnim semestrze (co sprawia, że litera „a” nie pojawia się nawet w ostatnim semestrze).
identyfikacja i jego wykładniki:
Przeanalizujmy teraz wykładniki „b”, które zawsze rosną, zaczynając od 0 w pierwszym wyrazie ( co powoduje, że litera b nie pojawia się w pierwszym terminie), 1 w drugim terminie i tak dalej, aż będzie równa Niew ostatnim semestrze.
identyfikacja b i jego wykładniki:
Rozumiejąc dosłowną część, zróbmy przeanalizuj współczynniki, które są wszystkimi kombinacjami Nie elementy brane od 0 do 0, 1 do 1, 2 do 2 i tak dalej aż do ostatniego terminu, który jest kombinacją Nie elementy zaczerpnięte z Nie w Nie.
Warto zauważyć, że ważne jest opanowanie obliczeń kombinacje aby móc znaleźć współczynniki. Pamiętaj, aby obliczyć kombinacje, musimy:
Odpowiedź kombinacji jest zawsze Liczba naturalna.
Zobacz też: Dzielenie wielomianowe: jak to rozwiązać?
Przykład: Oblicz dwumian Newtona (a+b) do potęgi czwartej.
I krok: napisz wielomian używając wzoru.
Drugi krok: obliczyć kombinacje.
Zastępując kombinacje, znaleziony wielomian będzie:
Widać, że rozwiązywanie takich przypadków jest nadal pracochłonne, w zależności od wykładnika, ale mimo to jest szybsze niż obliczanie przy użyciu własności rozdzielności. Narzędziem, które może pomóc w tych obliczeniach, jest trójkąt Pascala.
Trójkąt Pascala
Trójkąt Pascala został opracowany przez Blaise'a Pascala podczas badania kombinacji. On jest sposób, który ułatwia obliczanie kombinacji. Użycie trójkąta Pascala przyspiesza i ułatwia znajdowanie współczynników dosłownych części dwumianu Newtona bez konieczności obliczania wszystkich kombinacji.
Aby bezpośrednio skonstruować trójkąt Pascala, pamiętajmy o dwóch sytuacjach, w których obliczenie kombinacji jest równe 1.
Tak więc pierwszy i ostatni wyraz wszystkich wierszy jest zawsze równy 1. Terminy centralne są zbudowane z sumy terminu nad nim plus jego sąsiada z poprzedniej kolumny, jak w poniższej reprezentacji:
Aby zbudować kolejne wiersze, pamiętaj tylko, że pierwszy semestr to 1, a ostatni też. Następnie wystarczy wykonać sumy, aby odkryć centralne terminy.
Również dostęp: Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym
Przykład: Oblicz (a+b) do potęgi szóstej.
I krok: zastosuj formułę dwumianu.
Drugi krok: zbuduj trójkąt Pascala do szóstej linii.
Trzeci krok: zastąp kombinacje wartościami w linii 6, które są współczynnikami każdego z wyrazów dwumianu.
To, co decyduje o liczbie linii, które zbudujemy z dwumianu, to wartość n. Należy pamiętać, że pierwsza linia to zero.
Dwumianowy termin ogólny Newtona
Ogólny termin dwumianowy Newtona to formuła, która pozwala nam obliczyć wyraz dwumianowy bez konieczności opracowywania całego wielomianu, czyli możemy zidentyfikuj dowolne terminy od pierwszego do ostatniego. Za pomocą formuły bezpośrednio obliczamy szukany termin.
W: pierwszy warunek
B: drugi termin
n: wykładnik potęgowy
p+1: szukany termin
Przykład: Znajdź 11. wyraz dwumianu (a + b)12.
Rozkład:
Zobacz też: Demonstracje przez rachunku algebraicznego
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - (Cesgranrio) Współczynnik x4 w wielomianu P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Rozkład
Chcemy znaleźć konkretny termin w rozwiązywaniu dwumianu; w tym celu musimy znaleźć wartość p.
Wiemy, że pierwszy wyraz w tym przypadku jest równy x, więc n – p = 4, ponieważ n = 6, mamy:
Stąd współczynnik wynosi 60 (alternatywa B).
Pytanie 2 - (Unifor) Jeżeli centralny wyraz rozwoju dwumianowego (4x + ky)10 dla 8064x5tak5, to alternatywą odpowiadającą wartości k będzie:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e 4
Rozkład: Wiemy, że składnik centralny ma równe współczynniki (p= 5). Znajdźmy szósty wyraz, ponieważ p+1=6. Ponadto mamy, że a = 4x; b = ky i n = 10, więc:
Alternatywa D.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm