Funkcja nazywa się funkcja wielomianowa, gdy jej prawem tworzenia jest a wielomian. Funkcje wielomianowe są klasyfikowane według stopnia ich wielomianu. Na przykład, jeśli wielomian opisujący prawo tworzenia funkcji ma stopień drugi, mówimy, że jest to funkcja wielomianowa drugiego stopnia.
Aby obliczyć wartość liczbową funkcji wielomianowej, wystarczy zamień zmienną na pożądaną wartość, zamieniając wielomian w wyrażenie liczbowe. W badaniu funkcji wielomianowych reprezentacja graficzna jest dość powtarzalna. Funkcja wielomianowa 1. stopnia ma wykres zawsze równy linii prostej. Funkcja drugiego stopnia ma wykres równy paraboli.
Przeczytaj też: Jakie są różnice między równaniem a funkcją?
Co to jest funkcja wielomianowa?
Funkcja fa: R → R jest znana jako funkcja wielomianowa, gdy jej prawem tworzenia jest wielomian:
f(x) = aNiexNie +n-1xn-1 +n-2xn-2 + … +2x2 +1x + a0
Na czym:
x → jest zmienną.
n → jest a Liczba naturalna.
Nie, an-1, an-2, … The2,The1 i0 → są współczynnikami.
Współczynniki są liczby rzeczywiste które towarzyszą zmiennej wielomianowej.
Przykłady:
fa(x) = x5 + 3x4 – 3x3 + x² - x + 1
fa(x) = -2x³ + x – 7
fa(x) = x9
Jak określić typ funkcji wielomianowej?
Istnieje kilka rodzajów funkcji wielomianowych. jest sklasyfikowane według stopnia wielomianu. Gdy stopień wynosi 1, funkcja jest znana jako funkcja wielomianowa stopnia 1 lub funkcja wielomianowa pierwszego stopnia, a także funkcja afiniczna. Zobacz poniżej przykłady funkcji od stopnia 1 do stopnia 6.
Zobacz też: Jaka jest funkcja wtryskiwacza?
stopień funkcji wielomianowej
To, co określa stopień funkcji wielomianowej, to stopień wielomianu, więc możemy mieć funkcję wielomianową dowolnego stopnia.
Funkcja wielomianowa stopnia 1
Aby funkcja wielomianowa była wielomianem stopnia 1 lub wielomianu pierwszego stopnia, prawo tworzenia funkcji musi być fa(x) = topór + b, gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, a a 0. TEN funkcja wielomianowa stopnia 1 jest również znany jako funkcja afiniczna.
Przykłady:
fa(x) = 2x – 3
fa(x) = -x + 4
fa(x) = -3x
Funkcja wielomianowa stopnia 2
Aby funkcja wielomianowa była wielomianem drugiego stopnia lub wielomianem drugiego stopnia, prawo tworzenia funkcji musi byćfa(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a 0. Jeden Funkcja wielomianowa drugiego stopnia może być również znany jako funkcja kwadratowa.
Przykłady:
fa(x) = 2x² - 3x + 1
fa(x) = – x² + 2x
fa(x) = 3x² + 4
fa(x) = x²
Funkcja wielomianowa stopnia 3
Aby funkcja wielomianowa była wielomianem trzeciego stopnia lub wielomianem trzeciego stopnia, prawo tworzenia funkcji musi byćfa(x) = ax³ + bx² + cx + d, gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, a a 0. Funkcję stopnia 3 można również nazwać funkcją sześcienną.
Przykłady:
fa(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
fa(x) = -5x³ + 4x² + 2x
fa(x) = 3x³ + 8x – 4
fa(x) = -7x³
Funkcja wielomianowa stopnia 4
Zarówno dla funkcji wielomianowej stopnia 4, jak i dla pozostałych, rozumowanie jest takie samo.
Przykłady:
fa(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
fa(x) = x4 + 2x³ - x
fa(x) = x4
Funkcja wielomianowa stopnia 5
Przykłady:
fa(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x² + x + 9
fa(x) = 3x5 + x3 – 4
fa(x) = -x5
Funkcja wielomianowa stopnia 6
Przykłady:
fa(x) = 2x6 – 7x5 + x4 – 5x3 + x² + 2x – 1
fa(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
fa(x) = 3x6 + 2x² + 5x
fa(x) = x6
Wartość liczbowa funkcji
Znajomość prawa tworzenia ról fa(x), aby obliczyć wartość liczbową zawód za wartość Nie, po prostu oblicz wartość fa(Nie). W związku z tym, zastąpiliśmy zmienną w prawie formacji.
Przykład:
biorąc pod uwagę funkcję fa(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, znajdujemy wartość liczbową funkcji dla x = 2.
Aby znaleźć wartość fa(x) gdy x = 2, zrobimy fa(2).
fa(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
fa(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
fa(2) = 8 + 12 – 10 + 4
fa(2) = 20 – 10 + 4
fa(2) = 10 + 4
fa(2) = 14
Możemy powiedzieć, że obraz funkcji lub wartość liczbowa funkcji, gdy x = 2, jest równa 14.
Zobacz też: Funkcja odwrotna - składa się z odwrotności funkcji f (x)
Wielomianowe wykresy funkcji
Reprezentować w kartezjański samolot funkcję, którą reprezentujemy, na osi x, wartości x i obraz fa(x), punktami na płaszczyźnie. Punkty na płaszczyźnie kartezjańskiej są typu (Nie, fa(Nie)).
Przykład 1:
fa(x) = 2x - 1
Wykres funkcji pierwszego stopnia to zawsze a prosto.
Przykład 2:
fa(x) = x² - 2x - 1
Wykres funkcji drugiego stopnia to zawsze a przypowieść.
Przykład 3:
fa(x) = x³ - x
Wykres funkcji trzeciego stopnia jest znany jako sześcienny.
Równość wielomianów
Aby dwa wielomiany były równe, konieczne jest, aby podczas wykonywania Porównanie pomiędzy ty Twój warunki, współczynniki są takie same.
Przykład:
Mając następujące wielomiany p(x) i g(x) i wiedząc, że p(x) = g(x), znajdź wartość a, b, c i d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d
Ponieważ wielomiany są takie same, mamy to:
oś³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c – 2)x = 3x
d = -4
Zauważ, że mamy już wartość d, ponieważ d = -4. Teraz, obliczając każdy ze współczynników, musimy:
oś³ = 2x³
a = 2
Znając wartość a, znajdźmy wartość b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Znalezienie wartości c:
(c – 2)x = 3x
c – 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Zobacz też: Równanie wielomianowe — równanie charakteryzujące się wielomianem równym 0
Operacje wielomianowe
Mając dwa wielomiany, możliwe jest wykonanie operacji dodawanie odejmowanie i mnożenie między tymi terminami algebraicznymi.
Dodanie
Dodanie dwóch wielomianów jest obliczane przez suma tyrpodobne ręce. Aby dwa terminy były podobne, część dosłowna (litera z wykładnikiem) musi być taka sama.
Przykład:
Niech p (x) = 3x² + 4x + 5 oraz q (x) = 4x² – 3x + 2, oblicz wartość p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Wyróżnianie podobnych terminów:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Dodajmy teraz współczynniki podobnych terminów:
(3 + 4)x² + (4 - 3)x + 7
7x² + x + 7
Odejmowanie wielomianów
Odejmowanie jest bardzo podobne do dodawania, jednak przed wykonaniem operacji, piszemy przeciwny wielomian.
Przykład:
Dane: p (x) = 2x² + 4x + 3 oraz q (x) = 5x² – 2x + 1, oblicz p (x) – q (x).
Przeciwny wielomian q (x) to -q (x), który jest niczym innym jak wielomianem q (x) z przeciwieństwem każdego z wyrazów.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x – 1
Więc obliczymy:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Upraszczając podobne terminy, mamy:
(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Mnożenie wielomianu
Mnożenie wielomianu wymaga zastosowanie własności dystrybucyjnej, to znaczy mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wyrazu.
Przykład:
(x + 1) · (x² + 2x – 2)
Stosując własność rozdzielności, musimy:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
dzielenie wielomianowe
Aby obliczyć dzielenie między dwoma wielomianami, używamy tej samej metody, której używamy do obliczenia dzielenia dwóch liczb, metody kluczy.
Przykład:
Oblicz p (x): q (x), wiedząc, że p (x) = 15x² + 11x + 2 oraz q (x) = 3x + 1.
Przeczytaj też: Poręczne urządzenie Briota-Ruffini – kolejna metoda obliczania dzielenia wielomianów
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - Dzienny koszt produkcji części samochodowych w celu wyprodukowania określonej ilości części jest określony przez prawo założycielskie fa(x) = 25x + 100, gdzie x to liczba sztuk wyprodukowanych tego dnia. Wiedząc, że w danym dniu wyprodukowano 80 sztuk, koszt produkcji tych sztuk wynosił:
A) 300 zł
B) 2100 zł
C) BRL 2000
D) 1800 zł
E) 1250 zł
Rozkład
Alternatywa B
fa(80) = 25 · 80 + 100
fa(80) = 2000 + 100
fa(80) = 2100
Pytanie 2 - Stopień funkcji h(x) = fa(x) · sol(x), wiedząc, że fa (x) = 2x² + 5x i sol(x) = 4x - 5, to:
DO 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rozkład
Alternatywa C
Najpierw znajdziemy wielomian będący wynikiem mnożenia między fa(X i sol(x):
fa(x) · sol(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
fa(x) · sol(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x
Zauważ, że jest to wielomian stopnia 3, więc stopień funkcji h(x) wynosi 3.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm