Zasada Sarrusa. Determinant i zasada Sarrusa

Każda macierz kwadratowa może być powiązana z liczbą, którą otrzymuje się z obliczeń przeprowadzonych pomiędzy elementami tej macierzy. Ten numer nazywa się wyznacznik.

Rząd macierzy kwadratowej określa najlepszą metodę obliczania jej wyznacznika. Na przykład dla macierzy rzędu 2 wystarczy znaleźć różnicę między iloczynem elementów przekątnej głównej a iloczynem elementów przekątnej drugorzędnej. Dla macierzy 3x3 możemy zastosować regułę Sarrusa lub nawet Twierdzenie Laplace'a. Warto pamiętać, że te ostatnie można również wykorzystać do obliczenia wyznaczników macierzy kwadratowych rzędu większego niż 3. W szczególnych przypadkach obliczenie wyznacznika można uprościć tylko o kilka właściwości determinujące.

Aby zrozumieć, w jaki sposób wyznacznik jest obliczany za pomocą reguły Sarrusa, rozważ następującą macierz A rzędu 3:

Reprezentacja macierzy rzędu 3

Początkowo pierwsze dwie kolumny są powtórzone na prawo od macierzy A:

Musimy powtórzyć dwie pierwsze kolumny na prawo od macierzy

Następnie mnoży się elementy głównej przekątnej. Ten proces należy również wykonać z przekątnymi znajdującymi się po prawej stronie głównej przekątnej, aby było to możliwe

Dodaj produkty tych trzech przekątnych:

det A_dla = ten₁₁.Ten₂₂.Ten₃₃ +₁₂.Ten₂₃.Ten₃₁ +₁₃.Ten₂₁.Ten₃₂

Musimy dodać iloczyny głównych przekątnych

Ten sam proces należy wykonać z drugą przekątną i pozostałymi przekątnymi po jej prawej stronie. Jednak jest to konieczne odejmować znalezione produkty:

det A_s = - a₁₃.Ten₂₂.Ten₃₁ - a₁₁.Ten₂₃.Ten₃₃ - a₁₂.Ten₂₁.Ten₃₃

Musimy odjąć iloczyny od przekątnych wtórnych

Łącząc te dwa procesy, można znaleźć wyznacznik macierzy A:

det A = det A_dla + det A_s

det A = ten₁₁.Ten₂₂.Ten₃₃ +₁₂.Ten₂₃.Ten₃₁ +₁₃.Ten₂₁.Ten₃₂- a₁₃.Ten₂₂.Ten₃₁ - a₁₁.Ten₂₃.Ten₃₃ - a₁₂.Ten₂₁.Ten₃₃

Reprezentacja stosowania reguły Sarrus

Zobacz teraz obliczenie wyznacznika następującej macierzy B rzędu 3x3:

Obliczanie wyznacznika macierzy B za pomocą reguły Sarrusa

Korzystając z reguły Sarrusa, obliczenie wyznacznika macierzy B zostanie wykonane w następujący sposób:

Zastosowanie reguły Sarrusa do znalezienia wyznacznika macierzy B

det B = b₁₁.B₂₂.B₃₃ + b₁₂.B₂₃.B₃₁ + b₁₃.B₂₁.B₃₂- B₁₃.B₂₂.B₃₁ - B₁₁.B₂₃.B₃₃ - B₁₂.B₂₁.B₃₃

det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2

det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80

det B = 22– 56

det B = – 34

Dlatego, zgodnie z Regułą Sarrusa, wyznacznikiem macierzy B jest – 34.

przez Amandę Gonçalves
Ukończył matematykę

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm