Rozważmy łuk obwodu trygonometrycznego, który mierzy 45°, jego podwójny łuk to łuk 90°, ale tak nie jest oznacza, że wartość funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus i tangens) łuku podwójnego jest dwukrotnie większa niż łuku, o przykład:
Jeśli łuk jest równy 30°, twój podwójny łuk będzie wynosił 60°. Grzech 30° = 1/2, grzech 60° = √ 3/2, więc zdajemy sobie sprawę, że chociaż 60° jest podwójnym 30°, grzech 60° nie jest podwójnym grzechem 30°. Możemy zastosować tę samą sytuację z kilkoma innymi łukami i funkcjami trygonometrycznymi, jednak dojdziemy do tego samego wniosku.
Ogólnie rzecz biorąc, rozważ dowolny łuk miary β, jego podwójny łuk będzie wynosił 2β, dlatego sin β ≠ sin 2β, czyli sin 2β ≠ 2. grzech β.
Zatem, aby znaleźć wartość funkcji trygonometrycznych łuku podwójnego (sin 2β, cos 2β i tg 2β) będziemy musieli prześledzić pewne zależności między łukiem β a jego łukiem podwójnym 2β.
Te relacje będą nawiązywane poprzez funkcje trygonometryczne dodawania łuku. Zobacz jak:
• Cos 2β
Zgodnie z dodawaniem łuków, cos 2β jest równy:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β – sin β. grzech β
Dołączając do podobnych warunków będziemy mieli:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β - grzech2 β
Dlatego obliczenie cos 2β zostanie wykonane według następującego wzoru:
cos 2β = cos2 β - grzech2 β
• Sen 2β
Zgodnie z dodawaniem łuków sin 2β jest równy:
Sen 2β = grzech (β + β) = sin β. cos β + sin β. cos β
Umieszczając podobne terminy w dowodach, będziemy mieli:
Sen 2β = grzech (β + β) = 2. grzech β. cos β
Dlatego obliczenie sin 2β zostanie wykonane według następującego wzoru:
Sen 2β = 2. grzech β. cos β
• tg 2β
Zgodnie z dodawaniem łuków tg 2β jest równe:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Dołączając do podobnych warunków będziemy mieli:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 - tg2β
Dlatego do obliczenia tg 2β posłuży następujący wzór:
tg 2β = 2 tgβ
1 - tg2β
autor: Danielle de Miranda
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Trygonometria - Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm