Sprawdź swoją wiedzę, zadając pytania dotyczące ogólnych aspektów geometrii analitycznej, w tym odległości między dwoma punktami, punktu środkowego, równania linii prostej i innych tematów. .
Skorzystaj z komentarzy w uchwałach, aby wyjaśnić swoje wątpliwości i zdobyć więcej wiedzy.
Pytanie 1
Oblicz odległość między dwoma punktami: A (-2,3) i B (1,-3).
Prawidłowa odpowiedź: d (A, B) = .
Aby rozwiązać to pytanie, użyj wzoru do obliczenia odległości między dwoma punktami.
Podstawiamy wartości we wzorze i obliczamy odległość.
Korzeń 45 nie jest dokładny, więc konieczne jest przeprowadzanie rootowania, dopóki nie będzie można usunąć żadnej liczby z korzenia.
Dlatego odległość między punktami A i B wynosi .
pytanie 2
Na płaszczyźnie kartezjańskiej znajdują się punkty D (3.2) i C (6.4). Oblicz odległość między D i C.
Poprawna odpowiedź: .
Istota i
, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa do trójkąta DCP.
Podstawiając współrzędne we wzorze, odległość między punktami znajdujemy w następujący sposób:
Dlatego odległość między D i C wynosi
Zobacz też: Odległość między dwoma punktami
pytanie 3
Wyznacz obwód trójkąta ABC, którego współrzędne to: A (3,3), B (–5, –6) i C (4,–2).
Prawidłowa odpowiedź: P = 26,99.
Krok 1: Oblicz odległość między punktami A i B.
Drugi krok: Oblicz odległość między punktami A i C.
Krok 3: Oblicz odległość między punktami B i C.
Krok 4: Oblicz obwód trójkąta.
Dlatego obwód trójkąta ABC wynosi 26,99.
Zobacz też: Obwód trójkąta
pytanie 4
Określ współrzędne określające punkt środkowy między A (4,3) i B (2,-1).
Prawidłowa odpowiedź: M (3, 1).
Korzystając ze wzoru do obliczenia punktu środkowego, określamy współrzędną x.
Współrzędna y jest obliczana przy użyciu tego samego wzoru.
Zgodnie z obliczeniami punkt środkowy to (3.1).
pytanie 5
Oblicz współrzędne wierzchołka C trójkąta, którego punktami są: A (3, 1), B (–1, 2) oraz barycentrum G (6, –8).
Prawidłowa odpowiedź: C (16, –27).
Barycentrum G (xsoltaksol) to punkt, w którym spotykają się trzy mediany trójkąta. Jego współrzędne podane są wzorami:
i
Podstawiając wartości x współrzędnych mamy:
Teraz robimy ten sam proces dla wartości y.
Dlatego wierzchołek C ma współrzędne (16,-27).
pytanie 6
Mając współrzędne współliniowych punktów A (-2, y), B (4, 8) i C (1, 7), określ wartość y.
Prawidłowa odpowiedź: y = 6.
Aby trzy punkty zostały wyrównane, wyznacznik poniższej macierzy musi być równy zero.
Krok 1: zastąp wartości x i y w macierzy.
Drugi krok: obok macierzy wpisz elementy dwóch pierwszych kolumn.
Krok 3: pomnóż elementy głównych przekątnych i dodaj je.
Rezultatem będzie:
Krok 4: pomnóż elementy przekątnych drugorzędnych i odwróć znak przed nimi.
Rezultatem będzie:
Piąty krok: połącz terminy i rozwiąż operacje dodawania i odejmowania.
Dlatego, aby punkty były współliniowe, wartość y musi wynosić 6.
Zobacz też: Macierze i wyznaczniki
pytanie 7
Określ obszar trójkąta ABC, którego wierzchołkami są: A (2, 2), B (1, 3) i C (4, 6).
Prawidłowa odpowiedź: Powierzchnia = 3.
Pole trójkąta można obliczyć z wyznacznika w następujący sposób:
Krok 1: zastąp wartości współrzędnych w macierzy.
Drugi krok: obok macierzy wpisz elementy dwóch pierwszych kolumn.
Krok 3: pomnóż elementy głównych przekątnych i dodaj je.
Rezultatem będzie:
Krok 4: pomnóż elementy przekątnych drugorzędnych i odwróć znak przed nimi.
Rezultatem będzie:
Piąty krok: połącz terminy i rozwiąż operacje dodawania i odejmowania.
Szósty krok: oblicz obszar trójkąta.
Zobacz też: Obszar trójkąta
pytanie 8
(PUC-RJ) Punkt B = (3, b) jest w równej odległości od punktów A = (6, 0) i C = (0, 6). Dlatego punkt B to:
a) (3, 1)
b) (3, 6)
c) (3, 3)
d) (3, 2)
e) (3, 0)
Prawidłowa alternatywa: c) (3, 3).
Jeżeli punkty A i C są w równej odległości od punktu B, oznacza to, że punkty te znajdują się w tej samej odległości. Więc dAB = dCB a wzór do obliczenia to:
Krok 1: zamień wartości współrzędnych.
Drugi krok: rozwiąż pierwiastki i znajdź wartość b.
Stąd punkt B to (3, 3).
Zobacz też: Ćwiczenia na odległość między dwoma punktami
pytanie 9
(Unesp) Trójkąt PQR, w płaszczyźnie kartezjańskiej, z wierzchołkami P = (0, 0), Q = (6, 0) i R = (3, 5), jest
a) równoboczny.
b) równoramienne, ale nie równoboczne.
c) skalen.
d) prostokąt.
e) kąt rozwarty.
Prawidłowa alternatywa: b) równoramienne, ale nie równoboczne.
Krok 1: oblicz odległość między punktami P i Q.
Drugi krok: oblicz odległość między punktami P i R.
Krok 3: oblicz odległość między punktami Q i R.
Czwarty krok: oceń alternatywy.
Źle. Trójkąt równoboczny ma równe wymiary trójboczne.
b) PRAWIDŁOWE. Trójkąt jest równoramienny, ponieważ dwa boki mają ten sam wymiar.
c) ŹLE. Trójkąt pochyły ma wymiary trzech różnych boków.
d) ŹLE. Prawy trójkąt ma kąt prosty, czyli 90º.
e) ŹLE. Trójkąt rozwarty ma jeden z kątów większych niż 90º.
Zobacz też: Klasyfikacja trójkąta
pytanie 10
(Unitau) Równanie prostej przechodzącej przez punkty (3.3) i (6.6) to:
a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.
Prawidłowa alternatywa: a) y = x.
Aby ułatwić zrozumienie, nazwiemy punkt (3,3) A i punkt (6,6) B.
Biorąc P(xPtakP) jako punkt należący do prostej AB, to A, B i P są współliniowe i równanie prostej jest określone przez:
Ogólne równanie linii przechodzącej przez A i B to ax + by + c = 0.
Podstawiając wartości w macierzy i obliczając wyznacznik mamy:
Zatem x = y jest równaniem prostej przechodzącej przez punkty (3,3) i (6,6).
Zobacz też: Równanie liniowe
