Funkcja wykładnicza: 5 ćwiczeń z komentarzem

TEN funkcja wykładnicza jest każda funkcja ℝ w ℝ^*_+, zdefiniowana przez f(x) = a^x, gdzie a to liczba rzeczywista, większa od zera i nie równa 1.

Skorzystaj z komentowanych ćwiczeń, aby rozwiać wszelkie wątpliwości dotyczące tej treści i koniecznie sprawdź swoją wiedzę w rozwiązanych pytaniach konkursów.

Ćwiczenia z komentarzem

Ćwiczenie 1

Grupa biologów bada rozwój określonej kolonii bakterii i odkryli, że w idealnych warunkach liczbę bakterii można znaleźć za pomocą wyrażenia N(t) = 2000. 2^0,5t, będąc t w godzinach.

Biorąc pod uwagę te warunki, po jakim czasie od rozpoczęcia obserwacji liczba bakterii będzie wynosić 8192000?

Rozwiązanie

W proponowanej sytuacji znamy liczbę bakterii, czyli wiemy, że N(t) = 8192000 i chcemy obliczyć wartość t. Więc po prostu zastąp tę wartość w podanym wyrażeniu:

Aby rozwiązać to równanie, zapiszmy liczbę 4096 w czynnikach pierwszych, ponieważ jeśli mamy tę samą podstawę, możemy równać się wykładnikom. W związku z tym, faktoring liczby, mamy:

W ten sposób po 1 dniu (24 godz.) od rozpoczęcia obserwacji kultura będzie miała 8 192 000 bakterii.

Ćwiczenie 2

Materiały radioaktywne mają z czasem naturalną tendencję do dezintegracji swojej radioaktywnej masy. Czas, w którym połowa jego radioaktywnej masy rozpada się, nazywa się okresem połowicznego rozpadu.

Ilość materiału promieniotwórczego danego pierwiastka wyrażona jest wzorem:

Istota,

N(t): ilość materiału radioaktywnego (w gramach) w danym czasie.
N₀: początkowa ilość materiału (w gramach)
T: okres półtrwania (w latach)
t: czas (w latach)

Biorąc pod uwagę, że okres połowicznego rozpadu tego pierwiastka wynosi 28 lat, należy określić czas potrzebny do zmniejszenia się materiału promieniotwórczego do 25% jego początkowej ilości.

Rozwiązanie

Dla proponowanej sytuacji A(t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, czyli możemy zapisać dane wyrażenie, zastępując T przez 28 lat, wtedy:

W związku z tym potrzeba 56 lat, aby ilość materiału promieniotwórczego została zmniejszona o 25%.

Pytania konkursowe

1) Niespójny - 2018

Ibuprofen jest lekiem przepisywanym na ból i gorączkę, którego okres półtrwania wynosi około 2 godzin. Oznacza to, że np. po 2 godzinach przyjmowania 200 mg ibuprofenu w krwiobiegu pacjenta pozostanie tylko 100 mg leku. Po kolejnych 2 godzinach (łącznie 4 godziny) w krwiobiegu pozostanie tylko 50 mg i tak dalej. Jeśli pacjent otrzyma 800 mg ibuprofenu co 6 godzin, ilość tego leku, która pozostanie w krwiobiegu przez 14 godzin po przyjęciu pierwszej dawki, będzie wynosić

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Zobacz odpowiedź

Ponieważ początkowa ilość leku w krwiobiegu co 2 godziny jest dzielona na pół, możemy przedstawić tę sytuację za pomocą następującego schematu:

Zauważ, że wykładnik w każdej sytuacji jest równy czasowi podzielonemu przez 2. W ten sposób możemy zdefiniować ilość leku w krwiobiegu w funkcji czasu, używając następującego wyrażenia:

Istota

Q(t): ilość w danej godzinie
Q₀: początkowa spożyta ilość
t: czas w godzinach

Biorąc pod uwagę, że co 6 godzin przyjmowano 800 mg ibuprofenu, mamy:

Aby obliczyć ilość leku w krwiobiegu po 14 godzinach od zażycia pierwszej dawki, musimy dodać ilości odnoszące się do pierwszej, drugiej i trzeciej dawki. Obliczając te wielkości, mamy:

Ilość I dawki znajdziemy biorąc pod uwagę czas równy 14 h, a więc mamy:

Dla drugiej dawki, jak pokazano na powyższym schemacie, czas wynosił 8 godzin. Zastępując tę ​​wartość mamy:

Czas na trzecią dawkę wyniesie tylko 2 godziny. Kwota związana z trzecią dawką będzie wtedy wynosić:

Teraz, gdy znamy ilości dla każdej przyjętej dawki, możemy znaleźć całkowitą ilość, dodając każdą ze znalezionych ilości:

Q_całkowity= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternatywa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Jezioro wykorzystywane do zasilania miasta zostało skażone po awarii przemysłowej, osiągając poziom toksyczności T₀, co odpowiada dziesięciokrotności poziomu początkowego.
Przeczytaj poniższe informacje.

• Naturalny przepływ jeziora pozwala na odnowienie 50% jego objętości co dziesięć dni.
• Poziom toksyczności T(x) po x dniach wypadku można obliczyć za pomocą następującego równania:

Rozważ D najmniejszą liczbę dni przerwy w dostawie wody, niezbędną do powrotu toksyczności do początkowego poziomu.
Jeśli log 2 = 0,3, wartość D jest równa:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Zobacz odpowiedź

Aby powrócić do początkowego poziomu toksyczności konieczne jest, aby:

Podstawiając tę ​​wartość w danej funkcji, otrzymujemy:

Mnożąc przez „krzyżyk”, równanie staje się:

2 ^0,1x= 10

Zastosujmy logarytm o podstawie 10 do obu stron, aby przekształcić go w równanie pierwszego stopnia:

dziennik (2^0,1x) = log 10

Pamiętając, że log 10 o podstawie 10 jest równy 1, nasze równanie będzie wyglądać tak:

0,1x. log 2 = 1

Biorąc pod uwagę, że log 2 = 0,3 i podstawiając tę ​​wartość do równania:

Zatem najmniejsza liczba dni, w których dostawa powinna zostać wstrzymana, wynosi 34 dni.

Alternatywa c) 34

3) Fuwesp - 2018

Niech f: ℝ → ℝ i g: ℝ₊ →ℝ zdefiniowany przez

odpowiednio.

Wykres funkcji złożonej g_ºwiara:

Zobacz odpowiedź

Wykres, którego szukasz, to funkcja złożona g_ºf zatem pierwszym krokiem jest określenie tej funkcji. W tym celu musimy zastąpić funkcję f (x) w x funkcji g (x). Dokonując tego zamiennika, znajdziemy:

Wykorzystując logarytmiczną własność ilorazu i potęgi, otrzymujemy:

Zauważ, że funkcja znaleziona powyżej jest typu ax+b, która jest funkcją afiniczną. Więc twój wykres będzie linią prostą.

Również nachylenie a jest równe log₁₀ 5, co jest liczbą dodatnią, więc wykres będzie rósł. W ten sposób możemy wyeliminować opcje b, c i e.

Pozostają nam opcje a i d, jednak gdy x=0 mamy gof = - log₁₀ 2, która jest wartością ujemną, jak pokazano na wykresie a.

Alternatywa a)

4) Unicamp - 2014

Poniższy wykres przedstawia krzywą potencjału biotycznego q (t) dla populacji mikroorganizmów w czasie t.

Ponieważ a i b są rzeczywistymi stałymi, funkcja, która może reprezentować ten potencjał to

a) q(t) = w + b
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = w² + bt
d) q(t) = a + log _b t

Zobacz odpowiedź

Z przedstawionego wykresu możemy stwierdzić, że gdy t=0, funkcja jest równa 1000. Ponadto można również zaobserwować, że funkcja nie jest afiniczna, ponieważ wykres nie jest linią prostą.

Gdyby funkcja była typu q (t) = at²+bt, gdy t = 0, wynik byłby równy zero, a nie 1000. Więc to też nie jest funkcja kwadratowa.

Jak się zalogować_b0 nie jest zdefiniowane, ani nie może mieć jako odpowiedzi funkcji q (t) = a + log_bt.

Zatem jedyną opcją byłaby funkcja q(t) = ab^t. Biorąc pod uwagę t=0, funkcja będzie miała postać q (t) = a, ponieważ a jest wartością stałą, wystarczy, że jest równe 1000, aby funkcja pasowała do danego wykresu.

Alternatywa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Związek pracowników przedsiębiorstwa sugeruje, że dolna granica pensji w klasie wynosi 1800,00 reali, proponując stałą podwyżkę procentową za każdy rok poświęcony na pracę. Wyrażenie, które odpowiada propozycji wynagrodzenia (s), w funkcji stażu pracy (t), w latach, to s (t) = 1800. (1,03)^t .

Zgodnie z propozycją związku, pensja fachowca z tej firmy ze stażem 2 lata będzie realnie wynosić

a) 7 416.00
b) 3 819,24
c) 3709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62.

Zobacz odpowiedź

Zaproponowane przez związek wyrażenie do obliczania płacy w funkcji czasu odpowiada funkcji wykładniczej.

Aby znaleźć wysokość wynagrodzenia we wskazanej sytuacji, obliczmy wartość s, gdy t=2, jak wskazano poniżej:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternatywa e) 1 909,62

Przeczytaj też:

• Funkcja wykładnicza
• Logarytm
• Logarytm - ćwiczenia
• Właściwości logarytmu
• Wzmocnienie
• ćwiczenia wzmacniające
• Funkcja afiniczna
• Funkcja liniowa
• Powiązane ćwiczenia funkcyjne
• Funkcja kwadratowa
• Funkcja kwadratowa - ćwiczenia
• Wzory matematyczne