Odsetki proste i składane to obliczenia wykonywane w celu skorygowania kwot zaangażowanych w transakcje finansowych, czyli korekty dokonanej przy pożyczaniu lub inwestowaniu określonej kwoty w okresie czas.
Kwota zapłacona lub umorzona będzie zależeć od opłaty pobieranej za transakcję oraz okresu, w którym pieniądze zostaną pożyczone lub zainwestowane. Im wyższa szybkość i czas, tym wyższa ta wartość.
Różnica między oprocentowaniem prostym a składanym
W uproszczeniu korekta jest stosowana do każdego okresu i uwzględnia tylko wartość początkową. W przypadku odsetek składanych korekta dokonywana jest na kwoty już skorygowane.
Z tego powodu odsetki składane są również nazywane odsetkami od odsetek, co oznacza, że kwota jest dostosowywana do kwoty, która została już skorygowana.
Dlatego w przypadku dłuższych okresów inwestycji lub pożyczki korekta o odsetki składane spowoduje, że ostateczna kwota do otrzymania lub zapłaty będzie większa niż kwota uzyskana z odsetkami prostymi.
Większość operacji finansowych wykorzystuje korektę systemu odsetek składanych. Odsetki proste ograniczają się do operacji krótkoterminowych.
Prosta formuła odsetek
Odsetki proste obliczane są według następującego wzoru:
Istota,
J: zainteresowanie
C: początkowa wartość transakcji, zwana kapitałową matematyką finansową
i: stopa procentowa (kwota zwykle wyrażona w procentach)
t: okres transakcji
Możemy również obliczyć całkowitą kwotę, która zostanie umorzona (w przypadku inwestycji) lub kwotę do spłaty (w przypadku pożyczki) na koniec z góry określonego okresu.
Wartość ta, zwana kwotą, jest równa sumie kapitału plus odsetki, czyli:
Możemy podstawić wartość J w powyższym wzorze i znaleźć następujące wyrażenie dla kwoty:
Znaleziona przez nas formuła jest funkcją afiniczną, więc wartość kwoty rośnie liniowo w funkcji czasu.
Przykład
Jeśli kapitał w wysokości 1000,00 USD miesięcznie daje 25,00 USD, jaka jest roczna stopa procentowa w prostym systemie odsetkowym?
Rozwiązanie
Najpierw zidentyfikujmy każdą ilość wskazaną w zadaniu.
C = 1000.00 BRL
J = 25,00 BRL
t = 1 miesiąc
ja = ?
Teraz, gdy już zidentyfikowaliśmy wszystkie wielkości, możemy podstawić we wzorze na odsetki:
Należy jednak pamiętać, że opłata ta jest naliczana co miesiąc, ponieważ wykorzystujemy okres 1 miesiąca. Aby obliczyć opłatę roczną musimy tę wartość pomnożyć przez 12, więc mamy:
i = 2,5,12 = 30% rocznie
Formuła odsetek składanych Compound
Kwotę skapitalizowaną na odsetki składane oblicza się, stosując następujący wzór:
Istota,
M: kwota
C: kapitał
ja: oprocentowanie
t: okres czasu
W przeciwieństwie do zwykłego oprocentowania, w tego rodzaju kapitalizacji formuła obliczania kwoty obejmuje zmienność wykładniczą. Stąd tłumaczy się, że wartość końcowa znacznie wzrasta w dłuższych okresach.
Przykład
Oblicz kwotę uzyskaną przez zastosowanie 2000 reali przy stawce 4% na kwartał, po roku, w systemie odsetek składanych. compound
Rozwiązanie
Identyfikując podane informacje, mamy:
C = 2000
i = 4% lub 0,04 na kwartał
t = 1 rok = 4 kwartały
M = ?
Zastępując te wartości we wzorze procentu składanego, otrzymujemy:
W związku z tym na koniec jednego roku kwota wyniesie 2339,71 reala.
Rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1
Obliczanie kwoty
Jaka jest kwota inwestycji w wysokości 500,00 R$, przy oprocentowaniu 3% miesięcznie, w okresie 1 roku i 6 miesięcy, w systemach oprocentowania prostego i składanego?
proste zainteresowanie
Dane:
C = 500
ja = 0,03
t = 18 miesięcy (1 rok + 6 miesięcy)
Kwota będzie stanowić kapitał początkowy plus odsetki.
M = C + J
Interesem jest:
J = C.i.t
J = 500,0,03,18 = 270
A więc kwota będzie wynosić:
M = C+J
M = 500+270
M = 770
Odpowiedź: Kwota tej aplikacji wyniesie 770,00 R$.
Odsetki składane
Stosując wartości we wzorze mamy:
Odpowiedź: Kwota inwestycji w systemie odsetek składanych wynosi 851,21 R$.
pytanie 2
Kalkulacja kapitału
Na okres 6 miesięcy zastosowano pewien kapitał. Stawka wynosiła 5% miesięcznie. Po tym okresie kwota wyniosła 5000,00 R$. Określ kapitał.
proste zainteresowanie
Udowodnienie C w prostej formule odsetek:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Wyodrębnianie C do równania:
Odsetki składane
Wyodrębnienie C we wzorze składanego procentu i zastąpienie wartości:
Odpowiedź: Kapitał musi wynosić 421,68 BRL.
pytanie 3
Obliczanie oprocentowania
Jaka byłaby miesięczna stopa procentowa od inwestycji o wartości 100 000 USD w okresie ośmiu miesięcy, która zarobiła 1600,00 USD.
proste zainteresowanie
Stosowanie wzoru i udowadnianie C:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Podmiana wartości i wykonanie obliczeń numerycznych:
w procentach
ja = 7,5%
Odsetki składane
Użyjmy wzoru na odsetki składane i podzielmy kwotę przez kapitał.
pytanie 4
Obliczanie okresu składania wniosków (czas)
Zainwestowano kapitał w wysokości 8000 R$ z miesięcznym oprocentowaniem 9%, uzyskując kwotę 10360,00 R$.
Jak długo inwestowano ten kapitał?
proste zainteresowanie
Korzystanie ze wzoru
Dlatego czas to około 3,27 miesiąca.
Odsetki składane
Na tym etapie mamy do czynienia z równaniem wykładniczym.
Aby go rozwiązać, użyjemy logarytmu, stosując logarytm o tej samej podstawie po obu stronach równania.
Korzystając z własności logarytmów po prawej stronie równania, mamy:
pytanie 5
UECE - 2018
Sklep sprzedaje telewizor z następującymi warunkami płatności: zaliczka w wysokości 800,00 R$ i płatność w wysokości 450 R$ dwa miesiące później. Jeśli cena spotu telewizyjnego wynosi 1200,00 R$, to prosta miesięczna stopa procentowa wliczona w płatność wynosi
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Porównując cenę telewizora w gotówce (1 200,00 R$) z kwotą zapłaconą w dwóch ratach, zauważamy, że nastąpił wzrost o 50,00 R$, ponieważ zapłacona kwota wyniosła 1250,00 R$ (800 + 450) .
Aby obliczyć naliczaną stawkę, możemy zastosować prostą formułę odsetek, biorąc pod uwagę, że odsetki zostały naliczone od salda debetowego (wartość telewizyjna pomniejszona o zaliczkę). Więc mamy:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 miesiące
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Alternatywnie: a) 6,25%
Równoważność kapitału
W matematyce finansowej należy pamiętać, że kwoty zaangażowane w transakcję będą przesunięte w czasie.
Biorąc pod uwagę ten fakt, dokonanie analizy finansowej implikuje porównanie obecnych wartości z przyszłymi wartościami. Dlatego musimy mieć sposób na równoważność kapitału w różnym czasie.
Kiedy obliczamy kwotę, we wzorze na odsetki składane, znajdujemy przyszłą wartość dla t okresów, według stawki i, z wartości bieżącej.
Odbywa się to poprzez pomnożenie terminu (1+i)Nie w obecnej wartości, czyli:
Wręcz przeciwnie, jeśli chcemy znaleźć wartość obecną znając wartość przyszłą, dokonamy podziału, czyli:
Przykład:
Aby kupić motocykl po świetnej cenie, osoba poprosiła firmę finansową o pożyczkę w wysokości 6 000 BRL z 15% miesięcznym oprocentowaniem. Dwa miesiące później zapłacił 3 000 R$ i spłacił dług w następnym miesiącu.
Jaka była wysokość ostatniej raty zapłaconej przez osobę?
Rozwiązanie
Jeżeli dana osoba była w stanie spłacić należną kwotę kredytu, to kwota zapłacona w pierwszej racie plus druga rata jest równa kwocie należnej.
Jednak raty zostały skorygowane w okresie o odsetki miesięczne. Dlatego, aby dopasować te kwoty, musimy znać ich równoważne wartości w tym samym dniu.
Przeprowadzimy równoważność biorąc pod uwagę czas pożyczki, jak pokazano na poniższym schemacie:
Stosując formułę przez dwa i trzy miesiące:
W związku z tym ostatnia dokonana płatność wyniosła 5 675,25 BRL.
Ćwiczenie rozwiązane
pytanie 6
Pożyczka została udzielona na miesięczną stopę procentową i%, z oprocentowaniem składanym, w ośmiu stałych ratach równych P.
Dłużnik ma możliwość spłaty zadłużenia z góry w dowolnym momencie, płacąc za to aktualną wartość rat do spłaty. Po spłaceniu 5 raty postanawia spłacić dług przy spłacie 6 raty.
Wyrażenie, które odpowiada całkowitej kwocie zapłaconej za spłatę pożyczki, to:
Odpowiedź: litera a
