Transpozycja macierzy A to macierz, która ma te same elementy co A, ale znajduje się w innej pozycji. Uzyskuje się to poprzez uporządkowane przenoszenie elementów z linii A na kolumny transpozycji.
Dlatego, mając macierz A = (aij)mxn transpozycja A to At = (a’Ji) n x m.
Istota,
i: pozycja linii
j: pozycja kolumny
ij: element tablicy na pozycji ij
m: liczba wierszy w macierzy
n: liczba kolumn w macierzy
TENt: transponowana macierz A
Zauważ, że macierz A jest rzędu m x n, a jej transpozycja At jest rzędu n x m.
Przykład
Znajdź macierz transponowaną z macierzy B.
Ponieważ dana macierz jest typu 3x2 (3 wiersze i 2 kolumny) jej transpozycja będzie typu 2x3 (2 wiersze i 3 kolumny).
Aby zbudować macierz transponowaną, musimy zapisać wszystkie kolumny B jako wiersze Bt. Jak pokazano na poniższym schemacie:
Zatem transponowana macierz B będzie:
Zobacz też: Matryce
Transponowane właściwości macierzy
- (TAt)t = A: Ta właściwość wskazuje, że transpozycja macierzy transponowanej jest macierzą oryginalną.
- (A + B)t = At + Bt: transpozycja sumy dwóch macierzy jest równa sumie transpozycji każdej z nich.
- (THE. B)t = Bt. TENt: transpozycja mnożenia dwóch macierzy jest równa iloczynowi transpozycji każdej z nich w odwrotnej kolejności.
- det (M) = det (Mt): wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej.
Symetryczna matryca
Macierz nazywa się symetryczną, gdy dla dowolnego elementu macierzy A równość aij =Ji to prawda.
Macierze tego typu są macierzami kwadratowymi, czyli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.
Każda macierz symetryczna spełnia następującą zależność:
A = At
Macierz przeciwna
Ważne jest, aby nie pomylić macierzy przeciwnej z transponowaną. Przeciwna macierz to taka, która zawiera te same elementy w wierszach i kolumnach, jednak z różnymi znakami. Zatem przeciwieństwem B jest –B.
Odwrotna macierz
TEN odwrotna macierz (oznaczona liczbą –1) to ta, w której iloczyn dwóch macierzy jest równy kwadratowej macierzy jednostkowej (I) tego samego rzędu.
Przykład:
TEN. B = B. A = INie (gdy macierz B jest odwrotnością macierzy A)
Ćwiczenia na egzamin wstępny z informacją zwrotną
1. (Fei-SP) Biorąc pod uwagę macierz A = 
, będąct jej transpozycja, wyznacznik macierzy A. TENt é:
do 1
b) 7
c) 14
d) 49
Alternatywa d: 49
2. (FGV-SP) A i B to macierze i At jest transponowaną macierzą A. gdyby 
, to macierz At. B będzie nieważne dla:
a) x + y = –3
b)x. y = 2
c) x/y = –4
d) x. tak2 = –1
e) x/y = –8
Alternatywa d: x. tak2 = –1
3. (UFSM-RS) Wiedząc, że macierz
jest równe transpozycji, wartość 2x + y wynosi:
a) –23
b) -11
c) -1
d) 11
e) 23
Alternatywa c: -1
Przeczytaj też:
- Matryce - Ćwiczenia
- Rodzaje matryc
- Macierze i wyznaczniki
- Mnożenie macierzy
