Obliczanie funkcji kwadratowej

TEN funkcja kwadratowa, nazywany również Funkcja wielomianowa drugiego stopnia, to funkcja reprezentowana przez następujące wyrażenie:

f(x) = ax² + bx + c

Gdzie , b i do są liczbami rzeczywistymi i ≠ 0.

Przykład:

f(x) = 2x² + 3x + 5,

istota,

a = 2
b = 3
c = 5

W tym przypadku wielomian funkcji kwadratowej ma stopień 2, ponieważ jest największym wykładnikiem zmiennej.

Jak rozwiązać funkcję kwadratową?

Sprawdź krok po kroku poprzez przykład rozwiązania funkcji kwadratowej:

Przykład

Znajdź a, b i c w funkcji kwadratowej określonej przez: f (x) = ax² + bx + c, będąc:

f(-1) = 8
f (0) = 4
f(2) = 2

Najpierw zamieńmy x przez wartości każdej funkcji, a tym samym będziemy mieli:

f(-1) = 8
do 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (równanie I)

f (0) = 4
. 0² +b. 0 + c = 4
c = 4 (równanie II)

f(2) = 2
. 2² +b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (równanie III)

Przy drugiej funkcji f (0) = 4 mamy już wartość c = 4.

Zastąpmy więc uzyskaną wartość do w równaniach I i III w celu wyznaczenia innych niewiadomych ( i b):

(Równanie I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Ponieważ mamy równanie przez równanie I podstawimy w III, aby określić wartość b:

(Równanie III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Wreszcie, aby znaleźć wartość zastępujemy wartości b i do które zostały już znalezione. Wkrótce:

(Równanie I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Zatem współczynniki danej funkcji kwadratowej wynoszą:

a = 1
b = - 3
c = 4

Korzenie funkcji

Pierwiastki lub zera funkcji drugiego stopnia reprezentują wartości x takie, że f(x) = 0. Pierwiastki funkcji wyznacza się, rozwiązując równanie drugiego stopnia:

f(x) = ax² +bx + c = 0

Do rozwiązania równania II stopnia możemy użyć kilku metod, jedną z najczęściej używanych jest zastosowanie Formuła Bhaskarytj.:

Przykład

Znajdź zera funkcji f (x) = x² – 5x + 6.

Rozwiązanie:

Istota
a = 1
b = – 5
c = 6

Podstawiając te wartości we wzorze Bhaskary, mamy:

Więc korzenie to 2 i 3.

Zauważ, że liczba pierwiastków funkcji kwadratowej będzie zależeć od wartości otrzymanej przez wyrażenie: Δ = b² – 4. PNE, który nazywa się wyróżnikiem.

A zatem,

• gdyby Δ > 0, funkcja będzie miała dwa rzeczywiste i różne pierwiastki (x₁ x₂);
• gdyby Δ, funkcja nie będzie miała prawdziwego korzenia;
• gdyby Δ = 0, funkcja będzie miała dwa rzeczywiste i równe pierwiastki (x₁ = x₂).

Wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji drugiego stopnia to krzywe zwane parabolami. różny od Funkcje I stopnia, gdzie znając dwa punkty można narysować wykres, w funkcjach kwadratowych trzeba znać kilka punktów.

Krzywa funkcji kwadratowej przecina oś x przy pierwiastkach lub zerach funkcji w maksymalnie dwóch punktach w zależności od wartości dyskryminatora (Δ). Więc mamy:

• Jeśli Δ > 0, wykres przetnie oś x w dwóch punktach;
• Jeśli
• Jeśli Δ = 0, parabola dotknie osi x tylko w jednym punkcie.

Jest jeszcze jeden punkt, zwany wierzchołek paraboli, czyli maksymalna lub minimalna wartość funkcji. Ten punkt znajduje się za pomocą następującego wzoru:

Wierzchołek będzie reprezentował punkt maksymalnej wartości funkcji, gdy parabola jest zwrócona w dół i wartość minimalną, gdy zwrócona jest do góry.

Położenie wklęsłości krzywej można określić, analizując tylko znak współczynnika . Jeśli współczynnik jest dodatni, to wklęsłość będzie skierowana do góry, a jeśli jest ujemny, to w dół, czyli:

Tak więc, aby naszkicować wykres funkcji drugiego stopnia, możemy przeanalizować wartość , oblicz zera funkcji, jej wierzchołek, a także punkt, w którym krzywa przecina oś y, czyli gdy x = 0.

Z podanych par uporządkowanych (x, y) możemy skonstruować parabolę num kartezjański samolot, poprzez połączenie między znalezionymi punktami.

Ćwiczenia na egzamin wstępny z informacją zwrotną

1. (Vunesp-SP) Wszystkie możliwe wartości m które spełniają nierówność 2x² – 20x – 2m > 0, dla wszystkich x należące do zbioru reali, podane są przez:

a) m > 10
b) m > 25
c) m > 30
d) ja e) m

Zobacz odpowiedź

Alternatywa b) m > 25

2. (EU-CE) Wykres funkcji kwadratowej f (x) = ax² + bx to parabola, której wierzchołkiem jest punkt (1, – 2). Liczba elementów zbioru x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} należących do wykresu tej funkcji wynosi:

do 1
b) 2
c) 3
d) 4

Zobacz odpowiedź

Alternatywa b) 2

3. (Cefet-SP) Wiedząc, że równaniami układu są x. y = 50 i x + y = 15, możliwe wartości dla x i tak oni są:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Zobacz odpowiedź

Alternatywa e) {(5.10), (10.5)}

Przeczytaj też:

• Równanie pierwszego stopnia
• Równanie drugiego stopnia
• Powiązane ćwiczenia funkcyjne
• Równanie liceum - ćwiczenia
• Funkcja modułowa
• Funkcja wykładnicza
• Funkcja wielomianu
• Funkcja kompozytowa
• Funkcja wtryskiwacza
• Funkcja Bijektora
• Funkcja Overjet
• funkcja odwrotna
• Funkcja kwadratowa - ćwiczenia
• Wielomiany
• Faktoring wielomianowy
• Funkcja wykładnicza - ćwiczenia
• Matematyka w Enem
• Wzory matematyczne